• Как правильно управлять финансами своего бизнеса, если вы не специалист в области финансового анализа - Финансовый анализ

    Финансовый менеджмент - финансовые отношения между суъектами, управление финасами на разных уровнях, управление портфелем ценных бумаг, приемы управления движением финансовых ресурсов - вот далеко не полный перечень предмета "Финансовый менеджмент"

    Поговорим о том, что же такое коучинг? Одни считают, что это буржуйский брэнд, другие что прорыв с современном бизнессе. Коучинг - это свод правил для удачного ведения бизнесса, а также умение правильно распоряжаться этими правилами

15.7. МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ БЛЭКА-ШОУЛЗА

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 
187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 
204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 
221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 
238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 
272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 
289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 
306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 
323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 

Рабочая книга   Более реалистичная и часто используемая на практике модель оценки  стоимости опционов на акции — это модель Блэка—Шоулза". При ее выводе используются соображения, аналогичные 15.7     описанным выше, однако при этом предполагается осуществление не­прерывной корректировки дублирующего портфеля.

В исходную формулу Блэка—Щоулза для определения цены европейского опциона "колл", входят пять параметров, значение четырех из которых доступны инвесторам:

курс акций 5, цена исполнения Е, безрисковая процентная ставка (непрерывно на­числяемая процентная ставка в пересчете на год для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона) г, и промежуток времени до срока истечения опциона Т.

Эта формула имеет вид:

       (15.4)

 

где 13

С — цена опциона "колл"

•У — курс акций

Е — цена исполнения опциона .

К -— безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка

(в пересчете на год) для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения,         равным сроку истечения опциона))

Г—промежуток времени до срока истечения опциона в годах

а— риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент (в расчете на год)

1п—натуральный логарифм

е — основание натурального логарифма (приблизительно 2,71828)

М(а) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной меньше </

"По «опросам, связанным с развитием биномиальной модели, см. Сох, Лож$, ат1 КиЫпЛет, "Ор1юп Рпсту А ЗтрН^еЛ АрргоасН ", Лита! о/ Ппапсю! есопопчс!, 7 (1979), 229-263.

12 РксНег В1ас1с, ап(1 А/угоп ИсШез, "ТНе рпст^ о/ ОрИом апй ОЛег Согрога1е ЫаЫИИе5 ", Лита1 о/РоПНса! Есопоту, 81 (Мау/Лпе 1973).

13 Непрерывно начисляемая ставка доходности равна натуральному логарифму (1+ ставка до­ходности).

Выражение для стоимости опциона "пут" можно получить, произведя подстановку величины С из уравнения паритета опционов "пут" и "коля", т.е. воспользовавшись соотношением Р = С - 8 + Ее'^. В результате получаем формулу для нахождения стоимости опциона "пут":

При выводе своего уравнения Блэк и Шоулзпредположили, чтоДо даты истечения опциона выплата дивидендов не производится. Мертон обобщил эту модель, добавив к ней возможность получения постоянного дивидендного дохода,' №14 В результат^ бы­ла получена формула для оценки стоимости опциона с учетом дивидендов:

         (15.5)

 

 

Обратите внимание на тот факт, что ожидаемая доходность акций в выражении для оценки стоимости опциона в явном виде не фигурирует. Ее влияние осуществля­ется через изменение курса акций. Любые изменения в ожиданиях Относительно бу­дущего курса акций или ожидаемой доходности от инвестиций в акции будут приво­дить к изменению курса акций и, таким образом, к изменению стоимости опциона "колл". Однако при любом заданном курсе акций цену опциона можно определить и не зная ожидаемой доходности акций. Финансовые аналитики, спорящие по поводу ожидаемой доходности акций, вполне могут, исходя из складывающегося курса акций, прийти к единому мнению относительно цены опциона.

В реальной ситуации ни изменчивость (о), ни дивидендная доходность акции (а) не известны с полной определенностью, и опыт свидетельствует о том, что обе эти величины подвержены случайным изменениям с течением времени. На практике ис­пользуются специально разработанные модели, учитывающие вероятностный характер этих переменных. Расчет с использованием формулы оценки стоимости опциона с корректировкой по выплате дивидендов, выраженной уравнением 15.5, легко прово­дится с применением электронных таблиц. Один из примеров таких расчетов включен в качестве приложения к этому учебнику.

Для удобства представим информацию в виде таблицы, подобно тому, как это сде­лано при расчете приведенной стоимости в главе 4; Предположим, например, что мы хотим рассчитать стоимость опционов "колл" и "пут" сроком на шесть месяцев с це­ной исполнения 100 долл., для которых курс подлежащих акций равен 100 долл., ди­видендная доходность составляет 3% годовых, а изменчивость курса акций равна 0,20. Безрисковая ставка равна 8% годовых. Исходные и выходные данные программы оценки стоимости опционов представлены в табл. 15.7.

Таблица 15.7. Таблица расчета стоимости опциона

S

E

R

T

d

s

Результаты

100

100

0,08

0,5

0,03

0,2

С=6,79 долл.

Р=4,35 долл.

 

v " КоЬеП С. МеНоп, "ТНеогу о/КаНопа! ОрНоп Рпст^", Ве11Лита1 о/ Мапаутеп! 8с1епсе, 4 (Зрппе 1973).

 

В табл. 15.8 кратко охарактеризовано влияниешести исходных параметров на цены опционов "колл" и опционов "пут", всоответствии с уравнением 15.5.

Эта таблица интерпретируется следующим образом.

• Увеличение курса подлежащих акций приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут".

• Увеличение цены исполнения приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут".

• Усиление изменчивости курса акций приводит к росту цен как на опционы "колл", так и на опционы "пут".

• Увеличение промежутка времени до даты истечения опциона приводит к росту цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут"15.

• Увеличение процентной ставки приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут".

• Увеличение дивидендной доходности приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут".

В частном случае, когда курс акций, лежащих в основе опциона, равен приведен­ному значению цены "страйк" (т.е.

), для расчета цен опционов можно ис­пользовать удобную приближенную формулу

Такое приближение справедливо и для цены опционов "пут". Таким образом, если курс акций равен 100, цена "страйк" равна 108,33 долл., срок истечения составляет один год, безрисковая процентная ставка составляет 8%, выплаты по дивидендам рав­ны нулю, а изменчивость курса равняется 0,20, приблизительная стоимость как оп­циона "колл", так и опциона "пут" равна 0,08 цены акций, или 8 долл16.

Если для расчета соответствующих цен на такие опционы воспользоваться точной формулой (уравнение 15.5), окажется, что приближенная формула дает достаточно точные результаты:

15 Это относится только к американским опционам.

16 Обратите внимание на тот факт, что процентная ставка в приближенную формулу невходит.

Рабочая книга   Более реалистичная и часто используемая на практике модель оценки  стоимости опционов на акции — это модель Блэка—Шоулза". При ее выводе используются соображения, аналогичные 15.7     описанным выше, однако при этом предполагается осуществление не­прерывной корректировки дублирующего портфеля.

В исходную формулу Блэка—Щоулза для определения цены европейского опциона "колл", входят пять параметров, значение четырех из которых доступны инвесторам:

курс акций 5, цена исполнения Е, безрисковая процентная ставка (непрерывно на­числяемая процентная ставка в пересчете на год для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона) г, и промежуток времени до срока истечения опциона Т.

Эта формула имеет вид:

       (15.4)

 

где 13

С — цена опциона "колл"

•У — курс акций

Е — цена исполнения опциона .

К -— безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка

(в пересчете на год) для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения,         равным сроку истечения опциона))

Г—промежуток времени до срока истечения опциона в годах

а— риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент (в расчете на год)

1п—натуральный логарифм

е — основание натурального логарифма (приблизительно 2,71828)

М(а) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной меньше </

"По «опросам, связанным с развитием биномиальной модели, см. Сох, Лож$, ат1 КиЫпЛет, "Ор1юп Рпсту А ЗтрН^еЛ АрргоасН ", Лита! о/ Ппапсю! есопопчс!, 7 (1979), 229-263.

12 РксНег В1ас1с, ап(1 А/угоп ИсШез, "ТНе рпст^ о/ ОрИом апй ОЛег Согрога1е ЫаЫИИе5 ", Лита1 о/РоПНса! Есопоту, 81 (Мау/Лпе 1973).

13 Непрерывно начисляемая ставка доходности равна натуральному логарифму (1+ ставка до­ходности).

Выражение для стоимости опциона "пут" можно получить, произведя подстановку величины С из уравнения паритета опционов "пут" и "коля", т.е. воспользовавшись соотношением Р = С - 8 + Ее'^. В результате получаем формулу для нахождения стоимости опциона "пут":

При выводе своего уравнения Блэк и Шоулзпредположили, чтоДо даты истечения опциона выплата дивидендов не производится. Мертон обобщил эту модель, добавив к ней возможность получения постоянного дивидендного дохода,' №14 В результат^ бы­ла получена формула для оценки стоимости опциона с учетом дивидендов:

         (15.5)

 

 

Обратите внимание на тот факт, что ожидаемая доходность акций в выражении для оценки стоимости опциона в явном виде не фигурирует. Ее влияние осуществля­ется через изменение курса акций. Любые изменения в ожиданиях Относительно бу­дущего курса акций или ожидаемой доходности от инвестиций в акции будут приво­дить к изменению курса акций и, таким образом, к изменению стоимости опциона "колл". Однако при любом заданном курсе акций цену опциона можно определить и не зная ожидаемой доходности акций. Финансовые аналитики, спорящие по поводу ожидаемой доходности акций, вполне могут, исходя из складывающегося курса акций, прийти к единому мнению относительно цены опциона.

В реальной ситуации ни изменчивость (о), ни дивидендная доходность акции (а) не известны с полной определенностью, и опыт свидетельствует о том, что обе эти величины подвержены случайным изменениям с течением времени. На практике ис­пользуются специально разработанные модели, учитывающие вероятностный характер этих переменных. Расчет с использованием формулы оценки стоимости опциона с корректировкой по выплате дивидендов, выраженной уравнением 15.5, легко прово­дится с применением электронных таблиц. Один из примеров таких расчетов включен в качестве приложения к этому учебнику.

Для удобства представим информацию в виде таблицы, подобно тому, как это сде­лано при расчете приведенной стоимости в главе 4; Предположим, например, что мы хотим рассчитать стоимость опционов "колл" и "пут" сроком на шесть месяцев с це­ной исполнения 100 долл., для которых курс подлежащих акций равен 100 долл., ди­видендная доходность составляет 3% годовых, а изменчивость курса акций равна 0,20. Безрисковая ставка равна 8% годовых. Исходные и выходные данные программы оценки стоимости опционов представлены в табл. 15.7.

Таблица 15.7. Таблица расчета стоимости опциона

S

E

R

T

d

s

Результаты

100

100

0,08

0,5

0,03

0,2

С=6,79 долл.

Р=4,35 долл.

 

v " КоЬеП С. МеНоп, "ТНеогу о/КаНопа! ОрНоп Рпст^", Ве11Лита1 о/ Мапаутеп! 8с1епсе, 4 (Зрппе 1973).

 

В табл. 15.8 кратко охарактеризовано влияниешести исходных параметров на цены опционов "колл" и опционов "пут", всоответствии с уравнением 15.5.

Эта таблица интерпретируется следующим образом.

• Увеличение курса подлежащих акций приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут".

• Увеличение цены исполнения приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут".

• Усиление изменчивости курса акций приводит к росту цен как на опционы "колл", так и на опционы "пут".

• Увеличение промежутка времени до даты истечения опциона приводит к росту цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут"15.

• Увеличение процентной ставки приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут".

• Увеличение дивидендной доходности приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут".

В частном случае, когда курс акций, лежащих в основе опциона, равен приведен­ному значению цены "страйк" (т.е.

), для расчета цен опционов можно ис­пользовать удобную приближенную формулу

Такое приближение справедливо и для цены опционов "пут". Таким образом, если курс акций равен 100, цена "страйк" равна 108,33 долл., срок истечения составляет один год, безрисковая процентная ставка составляет 8%, выплаты по дивидендам рав­ны нулю, а изменчивость курса равняется 0,20, приблизительная стоимость как оп­циона "колл", так и опциона "пут" равна 0,08 цены акций, или 8 долл16.

Если для расчета соответствующих цен на такие опционы воспользоваться точной формулой (уравнение 15.5), окажется, что приближенная формула дает достаточно точные результаты:

15 Это относится только к американским опционам.

16 Обратите внимание на тот факт, что процентная ставка в приближенную формулу невходит.