• Как правильно управлять финансами своего бизнеса, если вы не специалист в области финансового анализа - Финансовый анализ

    Финансовый менеджмент - финансовые отношения между суъектами, управление финасами на разных уровнях, управление портфелем ценных бумаг, приемы управления движением финансовых ресурсов - вот далеко не полный перечень предмета "Финансовый менеджмент"

    Поговорим о том, что же такое коучинг? Одни считают, что это буржуйский брэнд, другие что прорыв с современном бизнессе. Коучинг - это свод правил для удачного ведения бизнесса, а также умение правильно распоряжаться этими правилами

4.9.3. Оптимизация портфеля с помощью модели Шарпа

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 
187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 

 

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь  доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом.

Основные допущения модели Шарпа:

— в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

— существует некая безрисковая ставка доходности , т. е. доходность некой ценной бумаги, риск которой всегда минимален по сравнению с другими ценными бумагами;

— взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности ценной бумаги) с отклонениями доходности рынка в целом от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности рынка) описывается функцией линейной регрессии;

— под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом;

— считается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, отражают в полной мере будущие значения доходности.

По модели Шарпа отклонения доходности ценной бумаги связываются с отклонениями доходности рынка функцией линейной регрессии вида:

,                        

где — отклонение доходности ценной бумаги от безрисковой;

      — отклонение доходности рынка от безрисковой;

       — коэффициенты регрессии.

Исходя из этой формулы, можно по прогнозируемой доходности рынка ценных бумаг в целом рассчитать доходность любой ценной бумаги, его составляющей:

,                      

где , — коэффициенты регрессии,  характеризующие данную ценную бумагу.

Теоретически, если рынок ценных бумаг находится в равновесии, то коэффициент будет равен нулю. Но так как на практике рынок всегда разбалансирован, то  показывает избыточную доходность данной ценной бумаги (положительную или отрицательную), т.е. насколько данная ценная бумага переоценивается или недооценивается инвесторами.

Коэффициент  называют -риском, т. к. он характеризует степень зависимости отклонений доходности ценной бумаги от отклонений доходности рынка в целом. Основное преимущество модели Шарпа — математически обоснована взаимозависимость доходности и риска: чем больше  - риск, тем выше доходность ценной бумаги.

Кроме того, модель Шарпа имеет особенность: существует опасность, что оцениваемое отклонение доходности ценной бумаги не будет принадлежать построенной линии регрессии. Этот риск называют остаточным риском. Остаточный риск характеризует степень разброса значений отклонений доходности ценной бумаги относительно линии регрессии. Остаточный риск определяют как среднее квадратическое отклонение эмпирических точек доходности ценной бумаги от линии регрессии. Остаточный риск i - ой ценной бумаги обозначают .

Другими словами показатель риска вложения средств в данную ценную бумагу определяется  - риском и остаточным риском .

В соответствии с моделью Шарпа доходность портфеля ценных бумаг – это среднее взвешенное значение показателей доходности ценных бумаг, его составляющих, с учетом  - риска. Доходность портфеля определяется по формуле:

            ,                      

где - безрисковая доходность;

- ожидаемая доходность рынка в целом;

Риск портфеля ценных бумаг может быть найден с помощью оценки среднего квадратичного отклонения функции и определяется по формуле:

,                      

где - среднее квадратическое отклонение доходности рынка в целом, т. е. показатель риска рынка в целом;

            -  - риск и остаточный риск i - ой ценной бумаги;

С использованием модели Шарпа для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:

 

Обратная задача выглядит аналогичным образом:

             

При практическом применении модели Шарпа для оптимизации фондового портфеля используются следующие допущения и формулы.

1). Обычно в качестве безрисковой ставки доходности  принимают доходность государственных ценных бумаг, например, облигаций внутреннего государственного займа.

2). В качестве доходности рынка ценных бумаг в целом в период t используются экспертные оценки рыночной доходности от аналитических компаний, из средств массовой информации и т. п. В условиях развитого фондового рынка для этих целей принято использовать какие-либо фондовые индексы. Для не очень большого по количеству ценных бумаг фондового рынка  принимается среднее значение доходности ценных бумаг, составляющих рынок, за этот же период t:

,                      

где — доходность рынка ценных бумаг в период t;

            — доходность i - ой ценной бумаги за период t.

3)  - риск  ценной бумаги рассчитывается по формуле:

,          

где — -риск i - ой ценной бумаги;

            — безрисковая доходность в период t;

            T - рассматриваемое количество периодов времени.

Избыточная доходность ценной бумаги рассчитывается по формуле:

.                      

5) Остаточный риск ценной бумаги имеет следующий вид:

.                      

6) Риск рынка ценных бумаг в целом определяется по формуле:

.                      

Проведем численное моделирование оптимизации фондового портфеля, используя модель Шарпа для расчета характеристик портфеля. Для расчета оптимального портфеля была разработана специальная программа, работающая в среде электронного процессора Excel.

Исходные данные для расчета (доходность ценных бумаг) остаются без изменений (см. табл. 4.9.1). Кроме того, модель Шарпа предусматривает использование доходности рынка в целом и  безрисковой доходности. Доходность рынка в целом принималась на основании экспертных оценок, ввиду отсутствия данных из внешних источников.  В качестве безрисковой доходности принималась приведенная к недельному сроку доходность трехмесячных государственных краткосрочных облигаций. Данные о доходности рынка в целом и о безрисковой доходности представлены в табл. 4.9.5.

                                                                                                                        Табл. 4.9.5

Период

Доходность рынка в целом

Безрисковая доходность

1

5%

0,75%

2

2,5%

0,75%

3

10%

0,80%

4

2%

0,80%

5

7%

0,80%

6

4%

0,90%

7

1,5%

0,90%

8

2%

0,90%

9

3%

0,90%

10

3,5%

0,85%

11

2,5%

0,85%

12

5%

0,85%

13

1,5%

0,85%

14

2%

0,85%

15

1%

0,85%

 

На основе данных табл. 4.9.1 и табл. 4.9.5 рассчитаны характеристики каждой ценной бумаги:  - риск, избыточная доходность и остаточный риск. Результаты расчета представлены в табл. 4.9.6. При численном моделировании были заданы требуемая доходность портфеля 4 %, допустимый риск портфеля 8 %, прогнозируемая безрисковая доходность 1 %, ожидаемая доходность фондового рынка 3.5 %.

                                                           

Табл. 4.9.6. Характеристики ценных бумаг

 

В - риск

Избыточная доходность

Остаточный риск

Акции 1

    2,883   

-7,04%

11,89%

Акции 2

    5,913   

-10,58%

14,34%

Акции 3

    2,672   

-6,17%

11,37%

Акции 4

    0,130   

-0,35%

5,55%

Акции 5

    3,353   

-6,46%

12,65%

Акции 6

    1,568   

0,33%

15,95%

 

Используя встроенную функцию табличного процессора Excel  “поиск решения”, были решены прямая и обратная задачи по оптимизации фондового портфеля. После обработки данных были рассчитаны оптимальные структуры фондового портфеля из рассматриваемых ценных бумаг, обеспечивающие максимально возможную доходность при заданном уровне риска (прямая задача) или минимально возможный риск при заданной доходности (обратная задача).  Полученные  результаты  представлены  в табл. 4.9.7.

                                    Табл. 4.9.7. Структура оптимального портфеля по модели Шарпа

Прогноз:

доходность рынка  3,5% ; безрисковая доходность 1%

 

Структура портфеля

 

Прямая задача

Обратная задача

Требования:

Риск меньше 8%

Доходность выше 4%

Акции 1

0%

0%

Акции 2

18%

23%

Акции 3

0%

0%

Акции 4

38%

23%

Акции 5

11%

11%

Акции 6

34%

43%

Характеристики

Доходность 3,38%

Доходность 4%

оптимального портфеля

Риск 8%

Риск 9,72%

 

Основной недостаток модели — необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. Модель не учитывает колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении соотношения между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает искажения. Таким образом, модель Шарпа применима при рассмотрении большого количества ценных бумаг, описывающих большую часть относительно стабильного фондового рынка.

 

 

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь  доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом.

Основные допущения модели Шарпа:

— в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

— существует некая безрисковая ставка доходности , т. е. доходность некой ценной бумаги, риск которой всегда минимален по сравнению с другими ценными бумагами;

— взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности ценной бумаги) с отклонениями доходности рынка в целом от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности рынка) описывается функцией линейной регрессии;

— под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом;

— считается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, отражают в полной мере будущие значения доходности.

По модели Шарпа отклонения доходности ценной бумаги связываются с отклонениями доходности рынка функцией линейной регрессии вида:

,                        

где — отклонение доходности ценной бумаги от безрисковой;

      — отклонение доходности рынка от безрисковой;

       — коэффициенты регрессии.

Исходя из этой формулы, можно по прогнозируемой доходности рынка ценных бумаг в целом рассчитать доходность любой ценной бумаги, его составляющей:

,                      

где , — коэффициенты регрессии,  характеризующие данную ценную бумагу.

Теоретически, если рынок ценных бумаг находится в равновесии, то коэффициент будет равен нулю. Но так как на практике рынок всегда разбалансирован, то  показывает избыточную доходность данной ценной бумаги (положительную или отрицательную), т.е. насколько данная ценная бумага переоценивается или недооценивается инвесторами.

Коэффициент  называют -риском, т. к. он характеризует степень зависимости отклонений доходности ценной бумаги от отклонений доходности рынка в целом. Основное преимущество модели Шарпа — математически обоснована взаимозависимость доходности и риска: чем больше  - риск, тем выше доходность ценной бумаги.

Кроме того, модель Шарпа имеет особенность: существует опасность, что оцениваемое отклонение доходности ценной бумаги не будет принадлежать построенной линии регрессии. Этот риск называют остаточным риском. Остаточный риск характеризует степень разброса значений отклонений доходности ценной бумаги относительно линии регрессии. Остаточный риск определяют как среднее квадратическое отклонение эмпирических точек доходности ценной бумаги от линии регрессии. Остаточный риск i - ой ценной бумаги обозначают .

Другими словами показатель риска вложения средств в данную ценную бумагу определяется  - риском и остаточным риском .

В соответствии с моделью Шарпа доходность портфеля ценных бумаг – это среднее взвешенное значение показателей доходности ценных бумаг, его составляющих, с учетом  - риска. Доходность портфеля определяется по формуле:

            ,                      

где - безрисковая доходность;

- ожидаемая доходность рынка в целом;

Риск портфеля ценных бумаг может быть найден с помощью оценки среднего квадратичного отклонения функции и определяется по формуле:

,                      

где - среднее квадратическое отклонение доходности рынка в целом, т. е. показатель риска рынка в целом;

            -  - риск и остаточный риск i - ой ценной бумаги;

С использованием модели Шарпа для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:

 

Обратная задача выглядит аналогичным образом:

             

При практическом применении модели Шарпа для оптимизации фондового портфеля используются следующие допущения и формулы.

1). Обычно в качестве безрисковой ставки доходности  принимают доходность государственных ценных бумаг, например, облигаций внутреннего государственного займа.

2). В качестве доходности рынка ценных бумаг в целом в период t используются экспертные оценки рыночной доходности от аналитических компаний, из средств массовой информации и т. п. В условиях развитого фондового рынка для этих целей принято использовать какие-либо фондовые индексы. Для не очень большого по количеству ценных бумаг фондового рынка  принимается среднее значение доходности ценных бумаг, составляющих рынок, за этот же период t:

,                      

где — доходность рынка ценных бумаг в период t;

            — доходность i - ой ценной бумаги за период t.

3)  - риск  ценной бумаги рассчитывается по формуле:

,          

где — -риск i - ой ценной бумаги;

            — безрисковая доходность в период t;

            T - рассматриваемое количество периодов времени.

Избыточная доходность ценной бумаги рассчитывается по формуле:

.                      

5) Остаточный риск ценной бумаги имеет следующий вид:

.                      

6) Риск рынка ценных бумаг в целом определяется по формуле:

.                      

Проведем численное моделирование оптимизации фондового портфеля, используя модель Шарпа для расчета характеристик портфеля. Для расчета оптимального портфеля была разработана специальная программа, работающая в среде электронного процессора Excel.

Исходные данные для расчета (доходность ценных бумаг) остаются без изменений (см. табл. 4.9.1). Кроме того, модель Шарпа предусматривает использование доходности рынка в целом и  безрисковой доходности. Доходность рынка в целом принималась на основании экспертных оценок, ввиду отсутствия данных из внешних источников.  В качестве безрисковой доходности принималась приведенная к недельному сроку доходность трехмесячных государственных краткосрочных облигаций. Данные о доходности рынка в целом и о безрисковой доходности представлены в табл. 4.9.5.

                                                                                                                        Табл. 4.9.5

Период

Доходность рынка в целом

Безрисковая доходность

1

5%

0,75%

2

2,5%

0,75%

3

10%

0,80%

4

2%

0,80%

5

7%

0,80%

6

4%

0,90%

7

1,5%

0,90%

8

2%

0,90%

9

3%

0,90%

10

3,5%

0,85%

11

2,5%

0,85%

12

5%

0,85%

13

1,5%

0,85%

14

2%

0,85%

15

1%

0,85%

 

На основе данных табл. 4.9.1 и табл. 4.9.5 рассчитаны характеристики каждой ценной бумаги:  - риск, избыточная доходность и остаточный риск. Результаты расчета представлены в табл. 4.9.6. При численном моделировании были заданы требуемая доходность портфеля 4 %, допустимый риск портфеля 8 %, прогнозируемая безрисковая доходность 1 %, ожидаемая доходность фондового рынка 3.5 %.

                                                           

Табл. 4.9.6. Характеристики ценных бумаг

 

В - риск

Избыточная доходность

Остаточный риск

Акции 1

    2,883   

-7,04%

11,89%

Акции 2

    5,913   

-10,58%

14,34%

Акции 3

    2,672   

-6,17%

11,37%

Акции 4

    0,130   

-0,35%

5,55%

Акции 5

    3,353   

-6,46%

12,65%

Акции 6

    1,568   

0,33%

15,95%

 

Используя встроенную функцию табличного процессора Excel  “поиск решения”, были решены прямая и обратная задачи по оптимизации фондового портфеля. После обработки данных были рассчитаны оптимальные структуры фондового портфеля из рассматриваемых ценных бумаг, обеспечивающие максимально возможную доходность при заданном уровне риска (прямая задача) или минимально возможный риск при заданной доходности (обратная задача).  Полученные  результаты  представлены  в табл. 4.9.7.

                                    Табл. 4.9.7. Структура оптимального портфеля по модели Шарпа

Прогноз:

доходность рынка  3,5% ; безрисковая доходность 1%

 

Структура портфеля

 

Прямая задача

Обратная задача

Требования:

Риск меньше 8%

Доходность выше 4%

Акции 1

0%

0%

Акции 2

18%

23%

Акции 3

0%

0%

Акции 4

38%

23%

Акции 5

11%

11%

Акции 6

34%

43%

Характеристики

Доходность 3,38%

Доходность 4%

оптимального портфеля

Риск 8%

Риск 9,72%

 

Основной недостаток модели — необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. Модель не учитывает колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении соотношения между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает искажения. Таким образом, модель Шарпа применима при рассмотрении большого количества ценных бумаг, описывающих большую часть относительно стабильного фондового рынка.