• Как правильно управлять финансами своего бизнеса, если вы не специалист в области финансового анализа - Финансовый анализ

    Финансовый менеджмент - финансовые отношения между суъектами, управление финасами на разных уровнях, управление портфелем ценных бумаг, приемы управления движением финансовых ресурсов - вот далеко не полный перечень предмета "Финансовый менеджмент"

    Поговорим о том, что же такое коучинг? Одни считают, что это буржуйский брэнд, другие что прорыв с современном бизнессе. Коучинг - это свод правил для удачного ведения бизнесса, а также умение правильно распоряжаться этими правилами

4.3.2. Элементы теории процентов

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 
187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 

 

В процессе наращения и дисконтирования денег рассматриваются следующие четыре взаимосвязанных фактора:

современное значение денег (PV),

будущее значение денег (FV),

время, выраженное в днях t или количестве периодов n,

норма доходности (процентная ставка).

Характер взаимоотношения между ними определяется способом начисления доходности, или чаще говорят – процентов.              Различают две схемы начисления процентов: простые проценты и сложные проценты.

Простые проценты.  В схеме простых процентов начисление дохода на инвестированную сумму денег осуществляется всегда исходя из начальной суммы инвестиций.

Пусть инвестор разместил на депозитном счету 1000 грн. при процентной ставке 40 простых годовых процентов. В случае, если он не будет снимать деньги со своего счета через год он будет иметь 

FV = 1000 + 400 = 1400 грн.,

А через два года

FV = 1000 + 400 + 400 = 1800 грн.

Таким образом, общая формула начисления простых процентов имеет следующий вид

                                                           .                                                       (4. 3)

В формуле (4.3) n может иметь дробное значение, когда речь идет о части периода (года), например, если банк выдал ссуду на t дней, а в году 365 дней, то

                                                    .                                                                      (4.3')

Кредитная сделка может производиться при изменяющейся процентной ставке. В этом случае существует некоторая временная решетка процентной ставки

n1

n2

n3

ni

r1

r2

r3

ri

и наращение производиться по формуле

                                                      ,                                                   (4.3")

где N – общее количество значений в решетке;

      ni – общее количество периодов, в течение которых действует процентная ставка ri .

Дисконтирование при простых процентах осуществляется с помощью формулы, которая получается путем обращения (4.3):

                                                    .                                                  (4.4)

Проиллюстрируем феномен дисконтирования с помощью следующего примера. Вы собирается накопить 50000 грн. в течение года посредством банковского депозита, который предлагает ежемесячное начисление простых процентов по месячной процентной ставке 5%. Какую сумму необходимо положить на депозит?

Из формулы (4.4) следует

.

Наращение и дисконтирование с помощью учетной ставки. В некоторых случаях в качестве базы для оценки доходности финансового инструмента используется не современное, а будущее значение. В этом случае норма доходности называется учетной ставкой (а не процентной ставкой). Наиболее распространенной областью применения учетной ставки является учет векселей. Суть учетной ставки состоит в том, что  доход инвестора начисляется на сумму, подлежащую к оплате в конце срока кредитования, а не на начальную сумму.

Формулу для учетной ставки получим по аналогии в формулой для процентной ставки. 

Для процентной ставки из формулы (4.3) получим:

По аналогии определим учетную ставку d, как следующее отношение

Отсюда легко следует формула для дисконтирования в случае использования учетной ставки для схемы простых процентов.

                                                            .                                                     (4.5)

Формула для наращения с использованием учетной ставки получается путем обращения формулы для дисконтирования:

                                                               .                                                        (4.6)

 

            Пример. Переводной вексель, тратта, выдан на сумму 100 тыс. грн. с уплатой по векселю 25 апреля. Держатель векселя учел его в банке 11 февраля. На этот момент учетная ставка по векселям в этом банке составляла 12%. Определить величину дисконта, которую банк произвел в момент учета векселя и сумму, которую получил держатель векселя.

            Сопоставляя даты учета и погашения векселя, определим, что до погашения осталось 73 дня. Таким образом, дисконт по векселю составит

D = 100000 · 73 / 365 · 0.12 = 2400 грн.,

а владелец векселя (теперь уже бывший) получит

PV = 100000 – 2400 = 97600 грн.

Сравним результаты дисконтирования с использованием учетной и процентной ставок. Для этого воспользуемся формулой для дисконтирования

,

в которой множитель дисконтирования будем вычислять следующим образом:

для процентной ставки

,

для учетной ставки

.

            Результаты сравнения представлены в таблице.

n

1/12

1/4

1/2

1

2

5

10

0,99174

0,9756

0,9524

0,9091

0,833

0,667

0,5

 

0,99167

0,975

0,95

0,9

0,8

0,5

0

 

При дисконтировании с помощью учетной ставки возникает методический парадокс: дисконтированное значение может стать 0 или даже отрицательным. На практике такого не бывает, так как вексель исключительно краткосрочный инструмент заимствования.

 

Сложные проценты.  Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

При норме доходности r имеем:

в первый год: ,

во второй год:   и т. д.

Таким образом, общая формула для начисления сложных процентов имеет следующий вид

                                                            .                                                        (4.7)

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег вычисляется с помощью формулы

 

                                                             .                                                               (4.8)

 

Если  процентная ставка изменяется в различные периоды времени, т.е.

 

n

1

2

n

r

r1

r2

rn

 

В этом случае формулы (4.7) и (4.8) обобщаются следующим образом:

 или

                                                          .                                                      (4.7')

                                                          .                                                          (4.8')

Рассмотрим соотношение между показателями наращения для простых и сложных процентов.  С помощью простых алгебраических рассуждений нетрудно установить,

если n < 1 года, то  , инвестировать при простых процентах более выгодно,

если n ³ 1 года, то  , то предпочтительней для инвестора является схема сложных процентов.

 

Пусть проценты начисляются т раз в году, тогда процентная ставка в пересчете на период будет равна r/m, а количество периодов будет равным nm. В соответствии с исходной формулой (4.3) в этом случае наращение будет производиться с помощью следующего соотношения:

                                                           .                                                      (4.9)

Формула для вычисления настоящей стоимости также принимает следующий обобщенный вид:

                                                         .                                                   (4.10)

 

Пример. Что более выгодно при вложении денег на 2 года:  процентная ставка 40% годовых при начислении процентов 2 раза в год, либо ставка 38% годовых, начисляемых 12 раз в год?

Рассчитаем показатель наращения с помощью формулы (4.9):

,

.

Очевидно, что второй вариант предпочтительней.

Для сравнения эффективности вложения денег при различном количестве начислений процентов в году вводят понятие эффективной процентной ставки: это процентная ставка такого вложения денег, при котором начисление процентов происходит только 1 раз в конце года и это равносильно по конечному результату конкретной схемы начисления процентов, для которой определяется эффективная процентная ставка.

По определению эффективной процентной ставки имеем одну и ту же величину будущего значения денег, полученных

при начислении процентов m раз в году при номинальной процентной ставке r,

 и

при начислении процентов один раз в году при процентной ставке rэ:

.

Следовательно

,

откуда легко следует

                                                              .                                                       (4.11)

Влияние числа начислений процентов на эффективность инвестирования денег при неизменной годовой процентной ставке иллюстрируется ниже.

 

m

1

2

4

12

365

30%

32,3%

33,6%

34,5%

35%

 

Наращение и дисконтирование производится с использованием учетной ставки по схеме сложных процентов производится аналогично, но расчетные формулы отличаются. С помощью простых рассуждений можно доказать, что

                                                               .                                                      (4.12)

Если начисление процентов производится т раз в году, то формула (12) будет иметь вид

                                                              .                                                 (4.12')

Формулы для наращения при использовании учетной ставки легко получаются из формул дисконтирования путем простого обращения последних:

 

                                                ,                                                      (4.13)

 

                                                            .                                                       (4.13')

 

Пример. Вексель на 500 тыс. грн. учитывается банком по учетной ставке 15% при начислении процентов 12 раз в году. Вексель учитывается за 8 месяцев до погашения. Необходимо определить величину дисконта.

Воспользовавшись формулой (4.12') получим

.

Следовательно, дисконт составляет   500000 – 452130 = 47870 грн.

 

 

В процессе наращения и дисконтирования денег рассматриваются следующие четыре взаимосвязанных фактора:

современное значение денег (PV),

будущее значение денег (FV),

время, выраженное в днях t или количестве периодов n,

норма доходности (процентная ставка).

Характер взаимоотношения между ними определяется способом начисления доходности, или чаще говорят – процентов.              Различают две схемы начисления процентов: простые проценты и сложные проценты.

Простые проценты.  В схеме простых процентов начисление дохода на инвестированную сумму денег осуществляется всегда исходя из начальной суммы инвестиций.

Пусть инвестор разместил на депозитном счету 1000 грн. при процентной ставке 40 простых годовых процентов. В случае, если он не будет снимать деньги со своего счета через год он будет иметь 

FV = 1000 + 400 = 1400 грн.,

А через два года

FV = 1000 + 400 + 400 = 1800 грн.

Таким образом, общая формула начисления простых процентов имеет следующий вид

                                                           .                                                       (4. 3)

В формуле (4.3) n может иметь дробное значение, когда речь идет о части периода (года), например, если банк выдал ссуду на t дней, а в году 365 дней, то

                                                    .                                                                      (4.3')

Кредитная сделка может производиться при изменяющейся процентной ставке. В этом случае существует некоторая временная решетка процентной ставки

n1

n2

n3

ni

r1

r2

r3

ri

и наращение производиться по формуле

                                                      ,                                                   (4.3")

где N – общее количество значений в решетке;

      ni – общее количество периодов, в течение которых действует процентная ставка ri .

Дисконтирование при простых процентах осуществляется с помощью формулы, которая получается путем обращения (4.3):

                                                    .                                                  (4.4)

Проиллюстрируем феномен дисконтирования с помощью следующего примера. Вы собирается накопить 50000 грн. в течение года посредством банковского депозита, который предлагает ежемесячное начисление простых процентов по месячной процентной ставке 5%. Какую сумму необходимо положить на депозит?

Из формулы (4.4) следует

.

Наращение и дисконтирование с помощью учетной ставки. В некоторых случаях в качестве базы для оценки доходности финансового инструмента используется не современное, а будущее значение. В этом случае норма доходности называется учетной ставкой (а не процентной ставкой). Наиболее распространенной областью применения учетной ставки является учет векселей. Суть учетной ставки состоит в том, что  доход инвестора начисляется на сумму, подлежащую к оплате в конце срока кредитования, а не на начальную сумму.

Формулу для учетной ставки получим по аналогии в формулой для процентной ставки. 

Для процентной ставки из формулы (4.3) получим:

По аналогии определим учетную ставку d, как следующее отношение

Отсюда легко следует формула для дисконтирования в случае использования учетной ставки для схемы простых процентов.

                                                            .                                                     (4.5)

Формула для наращения с использованием учетной ставки получается путем обращения формулы для дисконтирования:

                                                               .                                                        (4.6)

 

            Пример. Переводной вексель, тратта, выдан на сумму 100 тыс. грн. с уплатой по векселю 25 апреля. Держатель векселя учел его в банке 11 февраля. На этот момент учетная ставка по векселям в этом банке составляла 12%. Определить величину дисконта, которую банк произвел в момент учета векселя и сумму, которую получил держатель векселя.

            Сопоставляя даты учета и погашения векселя, определим, что до погашения осталось 73 дня. Таким образом, дисконт по векселю составит

D = 100000 · 73 / 365 · 0.12 = 2400 грн.,

а владелец векселя (теперь уже бывший) получит

PV = 100000 – 2400 = 97600 грн.

Сравним результаты дисконтирования с использованием учетной и процентной ставок. Для этого воспользуемся формулой для дисконтирования

,

в которой множитель дисконтирования будем вычислять следующим образом:

для процентной ставки

,

для учетной ставки

.

            Результаты сравнения представлены в таблице.

n

1/12

1/4

1/2

1

2

5

10

0,99174

0,9756

0,9524

0,9091

0,833

0,667

0,5

 

0,99167

0,975

0,95

0,9

0,8

0,5

0

 

При дисконтировании с помощью учетной ставки возникает методический парадокс: дисконтированное значение может стать 0 или даже отрицательным. На практике такого не бывает, так как вексель исключительно краткосрочный инструмент заимствования.

 

Сложные проценты.  Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

При норме доходности r имеем:

в первый год: ,

во второй год:   и т. д.

Таким образом, общая формула для начисления сложных процентов имеет следующий вид

                                                            .                                                        (4.7)

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег вычисляется с помощью формулы

 

                                                             .                                                               (4.8)

 

Если  процентная ставка изменяется в различные периоды времени, т.е.

 

n

1

2

n

r

r1

r2

rn

 

В этом случае формулы (4.7) и (4.8) обобщаются следующим образом:

 или

                                                          .                                                      (4.7')

                                                          .                                                          (4.8')

Рассмотрим соотношение между показателями наращения для простых и сложных процентов.  С помощью простых алгебраических рассуждений нетрудно установить,

если n < 1 года, то  , инвестировать при простых процентах более выгодно,

если n ³ 1 года, то  , то предпочтительней для инвестора является схема сложных процентов.

 

Пусть проценты начисляются т раз в году, тогда процентная ставка в пересчете на период будет равна r/m, а количество периодов будет равным nm. В соответствии с исходной формулой (4.3) в этом случае наращение будет производиться с помощью следующего соотношения:

                                                           .                                                      (4.9)

Формула для вычисления настоящей стоимости также принимает следующий обобщенный вид:

                                                         .                                                   (4.10)

 

Пример. Что более выгодно при вложении денег на 2 года:  процентная ставка 40% годовых при начислении процентов 2 раза в год, либо ставка 38% годовых, начисляемых 12 раз в год?

Рассчитаем показатель наращения с помощью формулы (4.9):

,

.

Очевидно, что второй вариант предпочтительней.

Для сравнения эффективности вложения денег при различном количестве начислений процентов в году вводят понятие эффективной процентной ставки: это процентная ставка такого вложения денег, при котором начисление процентов происходит только 1 раз в конце года и это равносильно по конечному результату конкретной схемы начисления процентов, для которой определяется эффективная процентная ставка.

По определению эффективной процентной ставки имеем одну и ту же величину будущего значения денег, полученных

при начислении процентов m раз в году при номинальной процентной ставке r,

 и

при начислении процентов один раз в году при процентной ставке rэ:

.

Следовательно

,

откуда легко следует

                                                              .                                                       (4.11)

Влияние числа начислений процентов на эффективность инвестирования денег при неизменной годовой процентной ставке иллюстрируется ниже.

 

m

1

2

4

12

365

30%

32,3%

33,6%

34,5%

35%

 

Наращение и дисконтирование производится с использованием учетной ставки по схеме сложных процентов производится аналогично, но расчетные формулы отличаются. С помощью простых рассуждений можно доказать, что

                                                               .                                                      (4.12)

Если начисление процентов производится т раз в году, то формула (12) будет иметь вид

                                                              .                                                 (4.12')

Формулы для наращения при использовании учетной ставки легко получаются из формул дисконтирования путем простого обращения последних:

 

                                                ,                                                      (4.13)

 

                                                            .                                                       (4.13')

 

Пример. Вексель на 500 тыс. грн. учитывается банком по учетной ставке 15% при начислении процентов 12 раз в году. Вексель учитывается за 8 месяцев до погашения. Необходимо определить величину дисконта.

Воспользовавшись формулой (4.12') получим

.

Следовательно, дисконт составляет   500000 – 452130 = 47870 грн.