• Как правильно управлять финансами своего бизнеса, если вы не специалист в области финансового анализа - Финансовый анализ

    Финансовый менеджмент - финансовые отношения между суъектами, управление финасами на разных уровнях, управление портфелем ценных бумаг, приемы управления движением финансовых ресурсов - вот далеко не полный перечень предмета "Финансовый менеджмент"

    Поговорим о том, что же такое коучинг? Одни считают, что это буржуйский брэнд, другие что прорыв с современном бизнессе. Коучинг - это свод правил для удачного ведения бизнесса, а также умение правильно распоряжаться этими правилами

П Р И Л О Ж Е Н И Е    А ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 

 

Что же такое случайность и как она исчисляется? Здесь мы сталкиваемся с понятиями теории вероятности. Таковыми в последней являются событие и вероятность события.

Событие - это результат испытания, эксперимента, наблюдения, который может произойти или не произойти при реализации данного комплекса условий.

Если событие неизбежно происходит при каждой реализации комплекса условий, то событие называется достоверным, если же оно не может произойти - невозможным.

Если же событие при реализации комплекса условий может произойти, а может и не произойти, то событие называется случайным.

События будем обозначать буквами А, В (или А1, А2, ..., Аn для группы событий).

Событие С, которое состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий А и В, называется суммой событий ( объединение)

 

С = А + В = А U В.

 

Событие С, которое состоит в том, что события А и В произойдут одновременно, называется произведением событий А и В или совмещением (пересечением) событий

 

С = АВ = А   В.

 

События называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление других в одном и том же испытании. Реализация конкретного из несовместимых событий называется элементарным событием (исходом). (Например, для игральной кости элементарное событие - это появление определенного количества очков i = 1,2,...,6).

Те элементарные события, которые влекут за своим появлением событие А, называются благоприятствующими исходами события А. И, наоборот, те события, которые не влекут за собой появления события А, называются неблагоприятствующими исходами события А.

Вероятностью Р события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А к числу n всех равновозможных несовместимых элементарных исходов:

 

Р(А) = m/n

 

( Это классическое определение вероятности).

Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1. Следовательно, для  любого случайного события А:

 

0 Р(А) 1.

 

(Пример 1. В урне 12 шаров: 3 - белых, 4 - черных, 5 - красных. Какова вероятность вынуть черный шар?  m = 4, n = 12,  P(A) = m/n = 4/12 =1/3).

(Пример 2. В урне 10 шаров: 6 - белых, 4 - черных. Вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что они оба белые?  n =  C210        m =  C26      P(A) = C26  / C210 = 1/3).

Для попарно несовместимых событий А1,А2,...,Аn:

                                                                              n                 n

                                                                        Р (åАi)   =   å Р(Аi).

                                                                             i=1            i=1

Событие А называется независимым от события В, если вероятность А не зависит от того произошло или нет событие В. А зависимо от В, если вероятность А меняется от того, что произошло или нет событие В.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что произошло первое:

 

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А);       Р(АВ) = Р(В) Р(А/В)

 

Для независимых событий:

 

Р(АВ) = Р(А) Р(В).

 

Для  n событий имеет место формула:

                                                                     n

                                P(A1A2....An) = P(PAi) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)....P(An/A1A2...An-1).

                                                                   i=1

Для независимых событий:

                                                                                   n               n

                                                                             P(PAi)  =  PP(Ai).

                                                                           i=1           i=1                                                                                    Знаком П обозначается произведение.

 

     Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления события.

 

Если производится n независимых испытаний и в каждом из них вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что А появится в этих испытаниях m раз находится по формуле:

 

                                                         Pm,n = Cmn  pm q n-m,                  q = 1 - p  

 

Число m0 называется наивероятнейшим числом наступления события А в n испытаниях, если значения Рm,n при m = m0 не меньше всех остальных значений Pm,n т.е. Pm0,n Pmi,n  mi m0, если p 0 и p 1, то  

 

                                                                np - q m0 np + p,     q = 1 - p

 

  Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

 

Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из событий Н1,H2,...,Нn, которые образуют полный набор попарно несовместимых событий, то А можно представить как объединение событий АН1,АН2,...,АНn, т.е. А = АН1 + AH2 +... + АНn.

Вероятность события А можно найти по формуле

                                                   n

                                 Р(А) =    å Р(Нi) P(A/Hi)                      - формула полной вероятности.

                                                 i=1

Условная вероятность события Нi в предположении, что событие А уже имеет место, определяется по формуле:

 

                                                         P(A/Hi)               P(Hi) P(A/Hi)

                                  P(Hi/A) =                          =                                     .

                                                            P(A)                  n

                                                                                     å P(A/Hi) P(Hi)

                                                                                     i=1

 

Это и есть формула Бейеса - формула определения вероятности гипотез.

 

 

 

     Случайная величина. Закон ее распределения.

 

Если каждому элементарному событию а из некоторого множества событий А можно поставить в соответствие определенную величину Х = Х(а), то говорят, что задана случайная величина Х. Случайную величину Х можно рассматривать как функцию события а с областью определения А.

Случайная величина может принимать то или иное значение из некоторого числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины обозначают буквами Х,У,..., а принимаемые ими значения - строчными х,у,...

Если х принимает дискретные значения х1, x2,..., хn, то Х - называется дискретной. Если же значения х заполняют конечный (бесконечный) промежуток ]а,b[ на числовой оси Ох, то имеем непрерывную случайную величину.

Каждому значению дискретной величины хn отвечает определенная вероятность pn; каждому промежутку ]a,b[ из области значений случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная вероятность Р(а < х < b) того, что значение, принятое случайной величиной, попадает в этот промежуток.

Соотношения, которые устанавливаются тем или иным способом, между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называют законом распределения случайной величины.

Этот закон для дискретной величины обычно задается рядом распределения:

 

хi

    x1      x2       .....       xn

рi

    p1      p2       .....       pn

 

                           n

При этом  åрi = 1 суммирование  осуществляется  по  всем  возможным  значениям  индекса  i

                         i=1

(конечным или бесконечным).

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью так называемой функции плотности вероятности f(x). Вероятность p(а < x < b) того, что значение, принятое случайной величиной Х,  попадает в промежуток ]а,b[ определяется по формуле:

 

                                                                                                   b

                                                                     p (а < x < b)  =  f(x)dx

                                                                                                 a                                       

 

График функции f(x) называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток ]а,b[ равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох  и прямыми х = а и  х = b, как показано ниже:

 

                           

 

Cвойства функции плотности f(x):

 

                                 

1. f(x) 0;    2.   f(x)dx = 1.

                              -                                                                        b

(если все значения х заключены в промежуток ]а,b[,  то  f(x) = 1).

                                                                                                           a

Рассмотрим функцию F(x) = P(X<x). Эта функция - функция распределения вероятности случайной величины Х. F(x) существует как для дискретной, так и для конкретных случайных величин. Если f(x) - функция плотности непрерывной случайной величины Х, то

                                                                                       x

                                                                        F(X) =  f(x)dx,

                                                                                  -

cледовательно, f(x) = F(x)  и функцию f(x) иногда называют дифференцальной функцией распределения вероятности, а F(x) - интегральной функцией. Ее свойства :

 

F(x) - неубывающая;  2. F(- ) = 0;  3. F(+ ) = 1.

 

Понятие функции распределения - центральное понятие теории вероятности. Используя это понятие, можно дать другое определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина непрерывна, если ее интегральная функция распределения F(x) непрерывна.

 

     Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

 

Математическим ожиданием (МО) дискретной случайной величины называется сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих значений. Пусть Х является дискретной случайной величиной и задана следующим образом:

 

хi

x1   x2   ......   xn

pi

p1   p2   ......   pn

 

то математическое ожидание   М(Х)  определяется следующим выражением:

                                                                                                                                     n 

                                           М(Х) = х1р1 + x2p2  + ... + xnpn  или  M(X) =   å xipi

          n                                                                                                                       i=1  

т.кå pi = 1, то

        i=1

                                                                        x1p1 + x2p2 + ....+ xnpn

                                                      M(X)  =                                                     ,

                                                                             p1 + p2 + ... +  pn

 

т.е. МО является взвешенной средней арифметической значений случайной величины х1, x2, ..., хn при весах р1, x2, ...., рn. При  n =    

                                                                               n

                                                              M(X) =  å pixi            (сходимость ряда абсолютная).

                                                                             i=1

Для непрерывной случайной величины:

 

                                                                        +

                                                          М(Х) =   xf(x)dx     (сходимость интеграла абсолютна).

                                                                       -

Геометрически МО равно абсциссе центра тяжести площади ограниченной кривой (полигоном) распределения и осью абсцисс.

Следовательно, при симметрии кривой (полигона) распределение относительно некоторой прямой параллельной оси координат, МО совпадает с абсциссой точки пересечения этой оси симметрии с осью абсцисс.

Точка оси 0х, с абсциссой равной МО случайной величины называется центром распределения этой величины.

Дисперсией случайной величины называется МО квадрата отклонения случайной величины от ее МО:

 

                                                                             D(Х) = М [X - M(X) ]

 

Пусть M(Х) = m, то для дискретной величины имеем:

                                                                                       n 

                                                                      D(Х) =   å Pi(xi - m) ,        

                                                                                     i=1 

                                                                                     

                                                                      D(Х) =   å Pi(xi - m) ,   при  n = .

                                                                                     i=1

Для непрерывной величины

                                                                                     

                                                                      D(Х) =   (x - m ) f(x) dx

                                                                                 -

Имеет место формула:

 

                                                                     D(Х) = М[(x-a)] - [M(x)-a]

 

                                                                       D(Х) = М[(x-a)] - (m-a),

 

где а произвольное число. Это часто используемая формула.

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х  называется величина:

                                                                                                 

                                                                                 (x)  =  D(Х)  .

 

Эта мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

 

     Биномиальный закон распределения.  Закон Пауссона.

 

Формула Бернулли:

 

                                                               Pm,n = Cmn pm qn-m ,   где    q= 1- p

 

Закон распределения случайной величины Х, которая может принимать n+1 значений 0,1,..., n, описываемый формулой Бернулли, называется биномиальным.

Закон распределения случайной величины Х, которая может принимать любые целые неотрицательные значения 0,1,...., n, описываемый формулой:

 

                                                                                               am      

                                                                      Р(Х =m)  =             exp(-a)    

                                                                                                m!                                                                                                                                                           

называется законом Пуассона. Он используется для следующих случайных величин:

а) В интервале [0,N[ оси Ох случайно размещаются n точек независимо друг от друга, причем события, заключающиеся в попадании одной точки в любой наперед заданный отрезок постоянной длины (например, единичный), равновероятны. Если N ,  n ¥

 

                                                                          a  =     lim     n/N,

                                                                                           N      

то случайная величина Х равная числу точек, попадающий на заданный отрезок длины (могущая принимать значения 0,1,..., m,...) распределяется по закону Пуассона.

б) Если n равно среднему числу вызовов абонентов, поступающих за один час на данную телефонную станцию, то число вызовов, поступающих за одну минуту, приближенно распределяется по закону Пуассона, причем а = n/60.

МО и D по биномиальному закону и закону Пуассона, определяются соответственно по формулам:

 

бином                                                         М(Х)  = np,   D(Х) = npq;

Пуассон                                                     М(Х)  = а,     D(Х) = а.

 

Нормальный закон распределения. Функция Лапласса.

 

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью:    

                                                                                 ____

                                                    f(x)  =   /  2п     exp[ -(х-m)/(2   )] .

                                                                      

Свойства функции f(x):

 

                                                                      

                                       1.  f(x) > 0;   2.   f(x)dx = 1.

                                                                -

 

Она симметрична относительно прямой    х = m   и    достигает  максимума в точке х = m, равного

         

1/ 2п  .  Рассмотрим график функции f(x).

 

                                                          

 

Ось Х - ассимптота кривой.

                   

Так  как     ò xf(x)dx = m,  то  m - есть МО случайной величины Х.

                -      

 

          ¥

Далее  ò(х - m) f(x)dx = , т.е. D(х) = или s  есть среднеквадратичное отклонение 

               -

величины Х.

Функция    

 

                                                                                   _       x                                       

                                                              Ф(Х) = 2/п      exp(-t2) dt 

                                                                                          0 

называется функцией Лапласса или интеграл вероятности.

Функцией ошибок называется функция

                                                                                     x

                                                                Ф(х) = 1/2п еxp(-t2/2)  dt

                                                                                     0    

Ее также называют нормированной функцией Лапласса.

                                                                      _                           

                                                                     Ф(х) = 0.5Ф(х/ 2 )

                                                                      _      

                                                                     Ф(х 2 ) = 0.5Ф(х)

 

Вероятность попадания в интервал ]a,b[ случайной величины Х, подчиненной нормальному закону, определяется по формуле:

                                                                                                                                  

                                     р(а < x < b ) = 0.5 {Ф[(b - m) / 2   ]  -  Ф[(a - m) / 2  ]}

    

Свойства функции Ф(х):

                                                                                  ___   ¥                         __     __                    

1. Ф(0) = 0;  2. Ф(+ ) = 1,  так как  2/       exp(-t2) dt  = 2/      Öp   / 2  = 1.

                                                                                           0  

3. F(x) - нечетная.

Далее:

                                                                                                     

                                                        Р(X-m < )  = Ф( / 2   )

 

Так вычисляется вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервал симметричный относительно точки М.

 

З А Д А Ч И  ПО   Т Е М Е

 

ЗАДАЧА А.1.

В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами 1, 2, ..., 10. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

ЗАДАЧА А.2.

В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 синих. Какова вероятность вынуть из урны белый шар?

ЗАДАЧА А.3.

Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадут гербы?

ЗАДАЧА А.4.

В одном ящике 2 белых и 10 синих шаров, а в другом - 8 белых и 4 синих. Из каждого ящика вынимают по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

ЗАДАЧА А.5.

В ящике 6 белых и 8 синих шаров. Из ящика последовательно вынимают два шара (не возвращая вынутый первым шар обратно). Какова вероятность того, что оба шара белые?

ЗАДАЧА А.6.

В ящике 10 белых, 20 синих и 30 желтых шаров. Вынимают из ящика один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый или синий?

 

 

Что же такое случайность и как она исчисляется? Здесь мы сталкиваемся с понятиями теории вероятности. Таковыми в последней являются событие и вероятность события.

Событие - это результат испытания, эксперимента, наблюдения, который может произойти или не произойти при реализации данного комплекса условий.

Если событие неизбежно происходит при каждой реализации комплекса условий, то событие называется достоверным, если же оно не может произойти - невозможным.

Если же событие при реализации комплекса условий может произойти, а может и не произойти, то событие называется случайным.

События будем обозначать буквами А, В (или А1, А2, ..., Аn для группы событий).

Событие С, которое состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий А и В, называется суммой событий ( объединение)

 

С = А + В = А U В.

 

Событие С, которое состоит в том, что события А и В произойдут одновременно, называется произведением событий А и В или совмещением (пересечением) событий

 

С = АВ = А   В.

 

События называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление других в одном и том же испытании. Реализация конкретного из несовместимых событий называется элементарным событием (исходом). (Например, для игральной кости элементарное событие - это появление определенного количества очков i = 1,2,...,6).

Те элементарные события, которые влекут за своим появлением событие А, называются благоприятствующими исходами события А. И, наоборот, те события, которые не влекут за собой появления события А, называются неблагоприятствующими исходами события А.

Вероятностью Р события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А к числу n всех равновозможных несовместимых элементарных исходов:

 

Р(А) = m/n

 

( Это классическое определение вероятности).

Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1. Следовательно, для  любого случайного события А:

 

0 Р(А) 1.

 

(Пример 1. В урне 12 шаров: 3 - белых, 4 - черных, 5 - красных. Какова вероятность вынуть черный шар?  m = 4, n = 12,  P(A) = m/n = 4/12 =1/3).

(Пример 2. В урне 10 шаров: 6 - белых, 4 - черных. Вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что они оба белые?  n =  C210        m =  C26      P(A) = C26  / C210 = 1/3).

Для попарно несовместимых событий А1,А2,...,Аn:

                                                                              n                 n

                                                                        Р (åАi)   =   å Р(Аi).

                                                                             i=1            i=1

Событие А называется независимым от события В, если вероятность А не зависит от того произошло или нет событие В. А зависимо от В, если вероятность А меняется от того, что произошло или нет событие В.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что произошло первое:

 

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А);       Р(АВ) = Р(В) Р(А/В)

 

Для независимых событий:

 

Р(АВ) = Р(А) Р(В).

 

Для  n событий имеет место формула:

                                                                     n

                                P(A1A2....An) = P(PAi) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)....P(An/A1A2...An-1).

                                                                   i=1

Для независимых событий:

                                                                                   n               n

                                                                             P(PAi)  =  PP(Ai).

                                                                           i=1           i=1                                                                                    Знаком П обозначается произведение.

 

     Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления события.

 

Если производится n независимых испытаний и в каждом из них вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что А появится в этих испытаниях m раз находится по формуле:

 

                                                         Pm,n = Cmn  pm q n-m,                  q = 1 - p  

 

Число m0 называется наивероятнейшим числом наступления события А в n испытаниях, если значения Рm,n при m = m0 не меньше всех остальных значений Pm,n т.е. Pm0,n Pmi,n  mi m0, если p 0 и p 1, то  

 

                                                                np - q m0 np + p,     q = 1 - p

 

  Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

 

Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из событий Н1,H2,...,Нn, которые образуют полный набор попарно несовместимых событий, то А можно представить как объединение событий АН1,АН2,...,АНn, т.е. А = АН1 + AH2 +... + АНn.

Вероятность события А можно найти по формуле

                                                   n

                                 Р(А) =    å Р(Нi) P(A/Hi)                      - формула полной вероятности.

                                                 i=1

Условная вероятность события Нi в предположении, что событие А уже имеет место, определяется по формуле:

 

                                                         P(A/Hi)               P(Hi) P(A/Hi)

                                  P(Hi/A) =                          =                                     .

                                                            P(A)                  n

                                                                                     å P(A/Hi) P(Hi)

                                                                                     i=1

 

Это и есть формула Бейеса - формула определения вероятности гипотез.

 

 

 

     Случайная величина. Закон ее распределения.

 

Если каждому элементарному событию а из некоторого множества событий А можно поставить в соответствие определенную величину Х = Х(а), то говорят, что задана случайная величина Х. Случайную величину Х можно рассматривать как функцию события а с областью определения А.

Случайная величина может принимать то или иное значение из некоторого числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины обозначают буквами Х,У,..., а принимаемые ими значения - строчными х,у,...

Если х принимает дискретные значения х1, x2,..., хn, то Х - называется дискретной. Если же значения х заполняют конечный (бесконечный) промежуток ]а,b[ на числовой оси Ох, то имеем непрерывную случайную величину.

Каждому значению дискретной величины хn отвечает определенная вероятность pn; каждому промежутку ]a,b[ из области значений случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная вероятность Р(а < х < b) того, что значение, принятое случайной величиной, попадает в этот промежуток.

Соотношения, которые устанавливаются тем или иным способом, между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называют законом распределения случайной величины.

Этот закон для дискретной величины обычно задается рядом распределения:

 

хi

    x1      x2       .....       xn

рi

    p1      p2       .....       pn

 

                           n

При этом  åрi = 1 суммирование  осуществляется  по  всем  возможным  значениям  индекса  i

                         i=1

(конечным или бесконечным).

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью так называемой функции плотности вероятности f(x). Вероятность p(а < x < b) того, что значение, принятое случайной величиной Х,  попадает в промежуток ]а,b[ определяется по формуле:

 

                                                                                                   b

                                                                     p (а < x < b)  =  f(x)dx

                                                                                                 a                                       

 

График функции f(x) называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток ]а,b[ равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох  и прямыми х = а и  х = b, как показано ниже:

 

                           

 

Cвойства функции плотности f(x):

 

                                 

1. f(x) 0;    2.   f(x)dx = 1.

                              -                                                                        b

(если все значения х заключены в промежуток ]а,b[,  то  f(x) = 1).

                                                                                                           a

Рассмотрим функцию F(x) = P(X<x). Эта функция - функция распределения вероятности случайной величины Х. F(x) существует как для дискретной, так и для конкретных случайных величин. Если f(x) - функция плотности непрерывной случайной величины Х, то

                                                                                       x

                                                                        F(X) =  f(x)dx,

                                                                                  -

cледовательно, f(x) = F(x)  и функцию f(x) иногда называют дифференцальной функцией распределения вероятности, а F(x) - интегральной функцией. Ее свойства :

 

F(x) - неубывающая;  2. F(- ) = 0;  3. F(+ ) = 1.

 

Понятие функции распределения - центральное понятие теории вероятности. Используя это понятие, можно дать другое определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина непрерывна, если ее интегральная функция распределения F(x) непрерывна.

 

     Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

 

Математическим ожиданием (МО) дискретной случайной величины называется сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих значений. Пусть Х является дискретной случайной величиной и задана следующим образом:

 

хi

x1   x2   ......   xn

pi

p1   p2   ......   pn

 

то математическое ожидание   М(Х)  определяется следующим выражением:

                                                                                                                                     n 

                                           М(Х) = х1р1 + x2p2  + ... + xnpn  или  M(X) =   å xipi

          n                                                                                                                       i=1  

т.кå pi = 1, то

        i=1

                                                                        x1p1 + x2p2 + ....+ xnpn

                                                      M(X)  =                                                     ,

                                                                             p1 + p2 + ... +  pn

 

т.е. МО является взвешенной средней арифметической значений случайной величины х1, x2, ..., хn при весах р1, x2, ...., рn. При  n =    

                                                                               n

                                                              M(X) =  å pixi            (сходимость ряда абсолютная).

                                                                             i=1

Для непрерывной случайной величины:

 

                                                                        +

                                                          М(Х) =   xf(x)dx     (сходимость интеграла абсолютна).

                                                                       -

Геометрически МО равно абсциссе центра тяжести площади ограниченной кривой (полигоном) распределения и осью абсцисс.

Следовательно, при симметрии кривой (полигона) распределение относительно некоторой прямой параллельной оси координат, МО совпадает с абсциссой точки пересечения этой оси симметрии с осью абсцисс.

Точка оси 0х, с абсциссой равной МО случайной величины называется центром распределения этой величины.

Дисперсией случайной величины называется МО квадрата отклонения случайной величины от ее МО:

 

                                                                             D(Х) = М [X - M(X) ]

 

Пусть M(Х) = m, то для дискретной величины имеем:

                                                                                       n 

                                                                      D(Х) =   å Pi(xi - m) ,        

                                                                                     i=1 

                                                                                     

                                                                      D(Х) =   å Pi(xi - m) ,   при  n = .

                                                                                     i=1

Для непрерывной величины

                                                                                     

                                                                      D(Х) =   (x - m ) f(x) dx

                                                                                 -

Имеет место формула:

 

                                                                     D(Х) = М[(x-a)] - [M(x)-a]

 

                                                                       D(Х) = М[(x-a)] - (m-a),

 

где а произвольное число. Это часто используемая формула.

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х  называется величина:

                                                                                                 

                                                                                 (x)  =  D(Х)  .

 

Эта мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

 

     Биномиальный закон распределения.  Закон Пауссона.

 

Формула Бернулли:

 

                                                               Pm,n = Cmn pm qn-m ,   где    q= 1- p

 

Закон распределения случайной величины Х, которая может принимать n+1 значений 0,1,..., n, описываемый формулой Бернулли, называется биномиальным.

Закон распределения случайной величины Х, которая может принимать любые целые неотрицательные значения 0,1,...., n, описываемый формулой:

 

                                                                                               am      

                                                                      Р(Х =m)  =             exp(-a)    

                                                                                                m!                                                                                                                                                           

называется законом Пуассона. Он используется для следующих случайных величин:

а) В интервале [0,N[ оси Ох случайно размещаются n точек независимо друг от друга, причем события, заключающиеся в попадании одной точки в любой наперед заданный отрезок постоянной длины (например, единичный), равновероятны. Если N ,  n ¥

 

                                                                          a  =     lim     n/N,

                                                                                           N      

то случайная величина Х равная числу точек, попадающий на заданный отрезок длины (могущая принимать значения 0,1,..., m,...) распределяется по закону Пуассона.

б) Если n равно среднему числу вызовов абонентов, поступающих за один час на данную телефонную станцию, то число вызовов, поступающих за одну минуту, приближенно распределяется по закону Пуассона, причем а = n/60.

МО и D по биномиальному закону и закону Пуассона, определяются соответственно по формулам:

 

бином                                                         М(Х)  = np,   D(Х) = npq;

Пуассон                                                     М(Х)  = а,     D(Х) = а.

 

Нормальный закон распределения. Функция Лапласса.

 

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью:    

                                                                                 ____

                                                    f(x)  =   /  2п     exp[ -(х-m)/(2   )] .

                                                                      

Свойства функции f(x):

 

                                                                      

                                       1.  f(x) > 0;   2.   f(x)dx = 1.

                                                                -

 

Она симметрична относительно прямой    х = m   и    достигает  максимума в точке х = m, равного

         

1/ 2п  .  Рассмотрим график функции f(x).

 

                                                          

 

Ось Х - ассимптота кривой.

                   

Так  как     ò xf(x)dx = m,  то  m - есть МО случайной величины Х.

                -      

 

          ¥

Далее  ò(х - m) f(x)dx = , т.е. D(х) = или s  есть среднеквадратичное отклонение 

               -

величины Х.

Функция    

 

                                                                                   _       x                                       

                                                              Ф(Х) = 2/п      exp(-t2) dt 

                                                                                          0 

называется функцией Лапласса или интеграл вероятности.

Функцией ошибок называется функция

                                                                                     x

                                                                Ф(х) = 1/2п еxp(-t2/2)  dt

                                                                                     0    

Ее также называют нормированной функцией Лапласса.

                                                                      _                           

                                                                     Ф(х) = 0.5Ф(х/ 2 )

                                                                      _      

                                                                     Ф(х 2 ) = 0.5Ф(х)

 

Вероятность попадания в интервал ]a,b[ случайной величины Х, подчиненной нормальному закону, определяется по формуле:

                                                                                                                                  

                                     р(а < x < b ) = 0.5 {Ф[(b - m) / 2   ]  -  Ф[(a - m) / 2  ]}

    

Свойства функции Ф(х):

                                                                                  ___   ¥                         __     __                    

1. Ф(0) = 0;  2. Ф(+ ) = 1,  так как  2/       exp(-t2) dt  = 2/      Öp   / 2  = 1.

                                                                                           0  

3. F(x) - нечетная.

Далее:

                                                                                                     

                                                        Р(X-m < )  = Ф( / 2   )

 

Так вычисляется вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервал симметричный относительно точки М.

 

З А Д А Ч И  ПО   Т Е М Е

 

ЗАДАЧА А.1.

В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами 1, 2, ..., 10. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

ЗАДАЧА А.2.

В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 синих. Какова вероятность вынуть из урны белый шар?

ЗАДАЧА А.3.

Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадут гербы?

ЗАДАЧА А.4.

В одном ящике 2 белых и 10 синих шаров, а в другом - 8 белых и 4 синих. Из каждого ящика вынимают по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

ЗАДАЧА А.5.

В ящике 6 белых и 8 синих шаров. Из ящика последовательно вынимают два шара (не возвращая вынутый первым шар обратно). Какова вероятность того, что оба шара белые?

ЗАДАЧА А.6.

В ящике 10 белых, 20 синих и 30 желтых шаров. Вынимают из ящика один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый или синий?