• Как правильно управлять финансами своего бизнеса, если вы не специалист в области финансового анализа - Финансовый анализ

    Финансовый менеджмент - финансовые отношения между суъектами, управление финасами на разных уровнях, управление портфелем ценных бумаг, приемы управления движением финансовых ресурсов - вот далеко не полный перечень предмета "Финансовый менеджмент"

    Поговорим о том, что же такое коучинг? Одни считают, что это буржуйский брэнд, другие что прорыв с современном бизнессе. Коучинг - это свод правил для удачного ведения бизнесса, а также умение правильно распоряжаться этими правилами

Г Л А В А   11 МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 

 

Практическая деятельность человека тесно связана с различного рода системами массового обслуживания. В области экономики - это банковское обслуживание, пользование объектами торговли и услугами сферы обслуживания и многие другие виды экономической деятельности.

Любая система массового обслуживания может включать в себя следующие элементы:

1. Входящий поток требований или заявок на обслуживание. Этот элемент является основным. Изучение входящего потока требований и его описание необходимо при организации любой системы массового обслуживания.

2. Очередь. В тех случаях, когда поступающие в систему массового обслуживания требования не могут быть удовлетворены немедленно, возникает очередь. В такой ситуации интерес может представлять длина этой очереди, порядок, по которому ожидающие требования направляются на обслуживание (как говорят, дисциплина очереди), время ожидания.

В отдельных случаях систем массового обслуживания очереди не допускаются, т.е. требование, заставшее систему занятой, не обслуживается (получает отказ).

3. Обслуживающее устройство. Этот элемент присутствует в любой системе массового обслуживания. От характеристик и параметров, способов организации обслуживающего устройства зависит не только время, необходимое на обслуживание одного требования, но и длина очереди и время ожидания.

4. Выходящий поток обслуженных требований. Этот элемент может оказаться очень важным в тех случаях, когда выходящий поток обслуженных требований является входящим для другой системы массового обслуживания.

Как правило, число требований на входе системы массового обслуживания за какой-либо промежуток времени и время обслуживания одного требования являются случайными величинами. Функционирование системы массового обслуживания в таком случае представляет собой случайный процесс и методы исследования таких систем используют имитационное моделирование. Однако, понять сущность задач и методов теории массового обслуживания можно на примерах детерминированных моделей систем массового обслуживания и прежде всего моделей теории очередей.

Основными компонентами в модели очереди являются:

1) описание входящего потока требований;

2) описание способа, которым выполняется обслуживание (т.е. описание дисциплины обслуживания);

3) описание дисциплины очереди (т.е. каким образом из очереди выбираются клиенты на обслуживание: “первый пришел - первый обслужен”, “последний пришел - первый обслужен”, “по указанным приоритетам” и т.п.).

При конструировании модели очереди первоочередной задачей является символическое представление основных компонент, после чего изучаются соотношения между ними.

Принципиальными характеристиками очереди являются:

1) длина очереди в различные моменты времени;

2) общая продолжительность нахождения требования в системе обслуживания (т.е. время, потраченное на ожидание в очереди, плюс собственное время обслуживания);

3) время, в течение которого обслуживающее устройство было свободно.

Основной целью исследования систем массового обслуживания является установление равновесия между допустимыми нагрузками обслуживающего устройства, ограниченной пропускной способностью системы и раздражением клиента, с одной стороны, и допустимой стоимостью обслуживающих точек, с другой стороны.

Рассмотрим систему массового обслуживания, имеющую один источник требований, проходящих через единственное обслуживающее устройство. Пусть имеют место следующие предположения:

1) Требования поступают через одинаковые интервалы времени. Каждый интервал имеет длину a единиц.

2) Требования обслуживаются за одинаковые интервалы времени, каждый интервал имеет длину b единиц. При этом, как только закончится обслуживание одного требования, обслуживающее устройство готово к обслуживанию следующего требования.

3) Дисциплина очереди устанавливается по правилу “Первый пришел - первый обслуживается”. Другими словами, ожидающие требования образуют очередь, и, когда обслуживающее устройство освободится, на обслуживание поступает требование, имеющее большее время ожидания.

Определим длину очереди как общее число требований, находящихся на обслуживании и ожидающих в очереди. Представим сформулированную задачу в виде следующей схемы:                                                                                                                                                                                    

 

       Поступающие                                                    Обслуживающее                   Обслуженные                                                                               

          требования                                                             устройство                          требования                                                           

                                                                                                                                                                                

                                                                                                                                                                              

           a               a                                     Очередь    Обслуживаемое                         b         b

                                                                                           требование

 

Поведение системы зависит от того, как связаны между собой величины a и b. Возможны три случая: 1) b > a, 2) b = a, 3) b < a. Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) Случай b > a. Это значит, что скорость обслуживания 1/b меньше, чем скорость поступления требований 1/a, т.е. требования обслуживаются и покидают систему медленнее, чем прибывают. Следовательно, в этом случае будет образовываться очередь и она будет постоянно возрастать.

2) Случай b = a. Если в очереди нет требований, то первое поступившее требование сразу начнет обслуживаться. Его обслуживание закончится в тот же самый момент, в который поступит на обслуживание следующее требование. Следовательно, требований, ожидающих обслуживания, не будет.

Если же первоначально имеется очередь, то ее длина будет оставаться постоянной.

3) Случай b < a. Это значит, что скорость обслуживания больше, чем скорость поступления требований. Следовательно, какое бы ни было начальное число ожидающих обслуживания требований, длина очереди будет сокращаться до 1 или 0.

Пусть в начале процесса число требований в очереди r ³ 2 (если первоначально есть только одно требование (r = 1), то оно будет обслужено прежде, чем поступят на обслуживание следующие требования, и очередь будет пустой).

Ч и с л о в о й   п р и м е р. Пусть b = 1   мин., a = 4 мин., r = 12. Для обслуживания всех 12 требований необходимо 12×1 = 12 мин. В течение этого времени поступят еще 12.4 = 3 требования и встанут в очередь. Для обслуживания этих требований потребуется 3×1 = 3 мин. В течение этих 3 минут на обслуживание не поступит ни одного требования (так как a > 3) т.е. требованиям, которые в дальнейшем поступят в систему, не прийдется ждать обслуживания. Таким образом, общее число требований в системе равно 12 = 3 = 15 требованиям (включая и первое требование из 12  так как его обслуживание началось, как только процесс обслуживания начался).

В общем случае, пусть имеем r требований, стоящих в очереди перед началом обслуживания. Тогда число требований (N), поступивших после начала процесса обслуживания до тех пор, пока сохраняется очередь, можно определить по формуле:

 

                                                                           N = [(rb - a)/ (a - b)] + 1,                                   (11.1)

                                                                                                                                                                                              где обозначение [x] означает целую часть числа x. Действительно, очередь будет отсутствовать, если через обслуживающее устройство полностью пройдет N+r требований. Для этого потребуется (N+r)b единиц времени. За это время на обслуживание поступит N требований, так что к поступлению (N+1)-го требования обслуживающее устройство будет свободно и готово обслужить его сразу без всякой очереди. Но (N+1)-е требование поступит на обслуживание через (N+1)a единиц времени, при этом будет выполнено соотношение:

 

a(N+1) ³ (N+r)b.

Отсюда,

 

                                                                                 N ³ (rb - a)/(a - b).                                      (11.2)

 

Докажем, что в полученном соотношении N больше правой части не более чем на 1. Действительно первое, стоящее в очереди требование будет уже обслужено, а первое вновь поступающее на обслуживание требование еще не появиться в очереди (a > b). Поэтому справедливо соотношение:

 

aN £ (N+r-1)b   или   N £ b(r-1)/(a-b).

 

Таким образом, если к правой части соотношения N ³ (rb - a)/(a - b) добавим 1, то оно будет тождественно равно правой части соотношения N £ b(r-1)/(a-b). То есть прибавление 1 к правой части соотношения N ³ (rb - a)/(a - b) приводит его к соотношению N £ b(r-1)/(a-b) - смысл неравенства меняется на противоположный. Это и требовалось доказать.

Очевидным является то, что N есть целое число. Следовательно, если от правой части в соотношении (11.2) взять целую часть и добавить к ней 1, то, исходя из предыдущих рассуждений, получим для вычисления N выражение (11.1).

Аналогичными рассуждениями и используя (11.1) можно найти, что для вычисления времени, которое необходимо для обслуживания всех ожидающих требований, справедлива формула:

 

                                              T = b{r + [(rb - a)/(a - b)] + 1} = b[(ra - b)/(a - b)].                         (11.3)

 

В теории очередей важной функцией является функция времени ожидания обслуживания. Обозначим ее через W(t). Определим W(t) как время, которое необходимо затратить на ожидание обслуживания требования, поступившего в момент времени t (считаем, что t=0 соответствует началу процесса обслуживания).

Определим формулу для W(t). Легко видеть, что требование, поступившее на обслуживание в момент t ³ T - b (величина T определяется с использованием формулы (11.3)), найдет систему обслуживания пустой или только что освободившейся. Такому требованию не прийдется стоять в очереди. Требование, поступившее в момент времени t £ T - b, найдет впереди себя (r - t/b) + (t/a - 1) требований, стоящих в очереди, причем первое из них в этот же момент поступит на обслуживающее устройство. Эта величина получается следующим образом:

 

(начальная                        (число требований, обслуженных                                 (число

    очередь)           -                           к  моменту времени t)                      +              поступлений)

          r                   -                                     t/b                                                 +                   (t/a - 1).

 

Таким образом, время ожидания W(t) для рассматриваемого требования может быть выражено формулой:

 

                                                   W (t) = [(r - t/b) + (t/a - 1)]b = (r - 1)×b - t×(a - b)/a.                    (11.4)

 

Рассмотрим i-ое требование в начальной очереди (0 < i £ r), тогда впереди его будет (i - 1) требований, для обслуживания которых потребуется (i - 1)×b единиц времени.

Обобщая полученные результаты относительно функции W(t), получим для нее следующее выражение:

 

                                  ì                0,                                    t ³ T - b;

                    W(t) =  í (r - 1)×b - t×((a - b)/a),            0 < t £ T - b;                                                    (11.5)

                                  î          (i - 1)×b,                                 t = 0.

                                                                                                                                                                                               где i - номер i-го требования в начальной очереди; требования поступают в моменты времени a, 2a, ...; b = na (n = 1, 2, ...).

Рассмотрим числовой пример. Пусть система характеризуется следующими параметрами:

 

 a = 3,  b = 1,  r = 5. 

 

Определить время ожидания 3-го, 6-го, и 7-го требований.

Требования в систему поступают в моменты времени 3, 6, 9, .... . В момент времени t = 0 пять требований стоят в очереди. Обслуживание каждого очередного требования начинается в моменты времени 0, 1, 2, ... .

Согласно выражению (11.5) имеем:

для третьего требования t = 0 и W(t = 0) = (i - 1)×b = (3 - 1)×1 = 2;

для шестого требования  t = 3 и W(t = 3) = (r - 1)×b - t×((a - b)/a) = (5 - 1)×1 - 3×((3 - 1)/3) = 2;

для седьмого требования t = 6 и W(6) = (5 - 1)×1 - 6×((3 - 1)/3) = 0.

 

Рассмотренная детерминированная модель системы массового обслуживания является весьма простой и исследование ее дает лишь самое общее представление о подобного рода системах. В действительности большинство систем обслуживания характеризуются параметрами, имеющими вероятностный характер. Такие системы описываются случайными величинами (см. Приложение), а их модели называют стохастическими.

Существует большое количество различных методов моделирования статистических систем массового обслуживания. Рассмотрим один из них - метод имитации.

Пусть система массового обслуживания описывается следующим образом:

1) Входящий поток требований характеризуется последовательным поступлением их по одному в моменты времени 2, 4, 6, ... мин. .

2) Обслуживающий поток характеризуется временем обслуживания в виде случайной величины, представленной экспоненциальным распределением с функцией плотности вероятности f(s) = (3/4)exp(-3s/4), s > 0. Соответствующая ей функция распределения F(s) = 1 - exp(-3s/4) c графиком

 

                                                                    F(s)

                                                                         1

                      Первое выбранное                                                    Случайно выбранное

                       выбранное десятичное                                             время обслуживания

                       число                            d = 0.41                              (По методу Монте-Карло) 

                                                                                                                 F(s) = 1 - exp(-3s/4)

 

 

 

                                                                       0,0                                                       s

                                                                                  s = F-1(d)

 

3) Дисциплина очереди определяется правилом “Первым пришел - первым обслужен”, т.е. обслуживаются в порядке очереди. Считаем, что вначале в очереди нет требований.

Результаты имитации представлены с следующей таблице:

 

Номера

требований

Время

поступления, t

Время

обслуживания,

s = F-1(d)

Время выхода

требования из

системы

Время

ожидания

W

Выбранная

десятичная

дробь, d

1

2

0.7

2.7

0

0.41

2

4

0.9

4.9

0

0.49

3

6

1.9

7.9

0

0.77

4

8

0.2

8.2

0

0.13

5

10

1.9

11.9

0

0.77

6

12

4.3

16.3

0

0.99

7

14

3.0

19.3

2.3

0.91

8

16

1.4

20.7

3.3

0.65

9

18

0.23

20.93

2.7

0.17

10

20

1.2

22.13

0.93

0.59

 

В третьем столбце указывается время обслуживания, выбранное по методу Монте-Карло. В пятом столбце таблицы представлено время ожидания для первых десяти требований. Ясно, что время ожидания обслуживания требования равно 0, если оно поступило после того, как предыдущее требование покинуло систему. Другими словами, вычитая время поступления требования из времени, в которое покидает систему предшествующее требование, получаем время ожидания обслуживания требования в очереди.

В развитии математических методов, применяемых при изучении систем обслуживания, достигнуты значительные успехи. Однако в большинстве случаев приходится прибегать к методам имитации.

 

З А Д А Ч И  П О  Т Е М Е.

 

ЗАДАЧА 11.1.

Определить общее число требований, стоящих в очереди, если a = 5, b = 2, r = 20. Вычислить время, необходимое для обслуживания всех требований, стоящих в очереди.

 

 

ЗАДАЧА 11.2.

Определить общее число требований, стоящих в очереди, если a = 3, b = 1, r = 50. Вычислить время, необходимое для обслуживания всех требований, стоящих в очереди. 

ЗАДАЧА 11.3.

Определить общее число требований, стоящих в очереди, если a = 6, b = 3, r = 30. Вычислить время, необходимое для обслуживания всех требований, стоящих в очереди.

ЗАДАЧА 11.4.

Пусть система массового обслуживания характеризуется параметрами:

 

a = 3,  b = 1,  r = 8.

 

 Построить для этой системы функцию времени ожидания и с ее помощью определить время ожидания 4, 7, 9, 12  и 15-го требований.

ЗАДАЧА 11.5.

Пусть система массового обслуживания характеризуется параметрами:

 

a = 4,  b = 2,  r = 12.

 

 Построить для этой системы функцию времени ожидания и с ее помощью определить время ожидания 4, 7, 9, 12  и 15-го требований.

ЗАДАЧА 11.6.

Пусть система массового обслуживания характеризуется параметрами:

 

a = 6,  b = 3,  r = 7.

 

Построить для этой системы функцию времени ожидания и с ее помощью определить время ожидания 4, 7, 9, 12  и 15-го требований.

 

 

Практическая деятельность человека тесно связана с различного рода системами массового обслуживания. В области экономики - это банковское обслуживание, пользование объектами торговли и услугами сферы обслуживания и многие другие виды экономической деятельности.

Любая система массового обслуживания может включать в себя следующие элементы:

1. Входящий поток требований или заявок на обслуживание. Этот элемент является основным. Изучение входящего потока требований и его описание необходимо при организации любой системы массового обслуживания.

2. Очередь. В тех случаях, когда поступающие в систему массового обслуживания требования не могут быть удовлетворены немедленно, возникает очередь. В такой ситуации интерес может представлять длина этой очереди, порядок, по которому ожидающие требования направляются на обслуживание (как говорят, дисциплина очереди), время ожидания.

В отдельных случаях систем массового обслуживания очереди не допускаются, т.е. требование, заставшее систему занятой, не обслуживается (получает отказ).

3. Обслуживающее устройство. Этот элемент присутствует в любой системе массового обслуживания. От характеристик и параметров, способов организации обслуживающего устройства зависит не только время, необходимое на обслуживание одного требования, но и длина очереди и время ожидания.

4. Выходящий поток обслуженных требований. Этот элемент может оказаться очень важным в тех случаях, когда выходящий поток обслуженных требований является входящим для другой системы массового обслуживания.

Как правило, число требований на входе системы массового обслуживания за какой-либо промежуток времени и время обслуживания одного требования являются случайными величинами. Функционирование системы массового обслуживания в таком случае представляет собой случайный процесс и методы исследования таких систем используют имитационное моделирование. Однако, понять сущность задач и методов теории массового обслуживания можно на примерах детерминированных моделей систем массового обслуживания и прежде всего моделей теории очередей.

Основными компонентами в модели очереди являются:

1) описание входящего потока требований;

2) описание способа, которым выполняется обслуживание (т.е. описание дисциплины обслуживания);

3) описание дисциплины очереди (т.е. каким образом из очереди выбираются клиенты на обслуживание: “первый пришел - первый обслужен”, “последний пришел - первый обслужен”, “по указанным приоритетам” и т.п.).

При конструировании модели очереди первоочередной задачей является символическое представление основных компонент, после чего изучаются соотношения между ними.

Принципиальными характеристиками очереди являются:

1) длина очереди в различные моменты времени;

2) общая продолжительность нахождения требования в системе обслуживания (т.е. время, потраченное на ожидание в очереди, плюс собственное время обслуживания);

3) время, в течение которого обслуживающее устройство было свободно.

Основной целью исследования систем массового обслуживания является установление равновесия между допустимыми нагрузками обслуживающего устройства, ограниченной пропускной способностью системы и раздражением клиента, с одной стороны, и допустимой стоимостью обслуживающих точек, с другой стороны.

Рассмотрим систему массового обслуживания, имеющую один источник требований, проходящих через единственное обслуживающее устройство. Пусть имеют место следующие предположения:

1) Требования поступают через одинаковые интервалы времени. Каждый интервал имеет длину a единиц.

2) Требования обслуживаются за одинаковые интервалы времени, каждый интервал имеет длину b единиц. При этом, как только закончится обслуживание одного требования, обслуживающее устройство готово к обслуживанию следующего требования.

3) Дисциплина очереди устанавливается по правилу “Первый пришел - первый обслуживается”. Другими словами, ожидающие требования образуют очередь, и, когда обслуживающее устройство освободится, на обслуживание поступает требование, имеющее большее время ожидания.

Определим длину очереди как общее число требований, находящихся на обслуживании и ожидающих в очереди. Представим сформулированную задачу в виде следующей схемы:                                                                                                                                                                                    

 

       Поступающие                                                    Обслуживающее                   Обслуженные                                                                               

          требования                                                             устройство                          требования                                                           

                                                                                                                                                                                

                                                                                                                                                                              

           a               a                                     Очередь    Обслуживаемое                         b         b

                                                                                           требование

 

Поведение системы зависит от того, как связаны между собой величины a и b. Возможны три случая: 1) b > a, 2) b = a, 3) b < a. Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) Случай b > a. Это значит, что скорость обслуживания 1/b меньше, чем скорость поступления требований 1/a, т.е. требования обслуживаются и покидают систему медленнее, чем прибывают. Следовательно, в этом случае будет образовываться очередь и она будет постоянно возрастать.

2) Случай b = a. Если в очереди нет требований, то первое поступившее требование сразу начнет обслуживаться. Его обслуживание закончится в тот же самый момент, в который поступит на обслуживание следующее требование. Следовательно, требований, ожидающих обслуживания, не будет.

Если же первоначально имеется очередь, то ее длина будет оставаться постоянной.

3) Случай b < a. Это значит, что скорость обслуживания больше, чем скорость поступления требований. Следовательно, какое бы ни было начальное число ожидающих обслуживания требований, длина очереди будет сокращаться до 1 или 0.

Пусть в начале процесса число требований в очереди r ³ 2 (если первоначально есть только одно требование (r = 1), то оно будет обслужено прежде, чем поступят на обслуживание следующие требования, и очередь будет пустой).

Ч и с л о в о й   п р и м е р. Пусть b = 1   мин., a = 4 мин., r = 12. Для обслуживания всех 12 требований необходимо 12×1 = 12 мин. В течение этого времени поступят еще 12.4 = 3 требования и встанут в очередь. Для обслуживания этих требований потребуется 3×1 = 3 мин. В течение этих 3 минут на обслуживание не поступит ни одного требования (так как a > 3) т.е. требованиям, которые в дальнейшем поступят в систему, не прийдется ждать обслуживания. Таким образом, общее число требований в системе равно 12 = 3 = 15 требованиям (включая и первое требование из 12  так как его обслуживание началось, как только процесс обслуживания начался).

В общем случае, пусть имеем r требований, стоящих в очереди перед началом обслуживания. Тогда число требований (N), поступивших после начала процесса обслуживания до тех пор, пока сохраняется очередь, можно определить по формуле:

 

                                                                           N = [(rb - a)/ (a - b)] + 1,                                   (11.1)

                                                                                                                                                                                              где обозначение [x] означает целую часть числа x. Действительно, очередь будет отсутствовать, если через обслуживающее устройство полностью пройдет N+r требований. Для этого потребуется (N+r)b единиц времени. За это время на обслуживание поступит N требований, так что к поступлению (N+1)-го требования обслуживающее устройство будет свободно и готово обслужить его сразу без всякой очереди. Но (N+1)-е требование поступит на обслуживание через (N+1)a единиц времени, при этом будет выполнено соотношение:

 

a(N+1) ³ (N+r)b.

Отсюда,

 

                                                                                 N ³ (rb - a)/(a - b).                                      (11.2)

 

Докажем, что в полученном соотношении N больше правой части не более чем на 1. Действительно первое, стоящее в очереди требование будет уже обслужено, а первое вновь поступающее на обслуживание требование еще не появиться в очереди (a > b). Поэтому справедливо соотношение:

 

aN £ (N+r-1)b   или   N £ b(r-1)/(a-b).

 

Таким образом, если к правой части соотношения N ³ (rb - a)/(a - b) добавим 1, то оно будет тождественно равно правой части соотношения N £ b(r-1)/(a-b). То есть прибавление 1 к правой части соотношения N ³ (rb - a)/(a - b) приводит его к соотношению N £ b(r-1)/(a-b) - смысл неравенства меняется на противоположный. Это и требовалось доказать.

Очевидным является то, что N есть целое число. Следовательно, если от правой части в соотношении (11.2) взять целую часть и добавить к ней 1, то, исходя из предыдущих рассуждений, получим для вычисления N выражение (11.1).

Аналогичными рассуждениями и используя (11.1) можно найти, что для вычисления времени, которое необходимо для обслуживания всех ожидающих требований, справедлива формула:

 

                                              T = b{r + [(rb - a)/(a - b)] + 1} = b[(ra - b)/(a - b)].                         (11.3)

 

В теории очередей важной функцией является функция времени ожидания обслуживания. Обозначим ее через W(t). Определим W(t) как время, которое необходимо затратить на ожидание обслуживания требования, поступившего в момент времени t (считаем, что t=0 соответствует началу процесса обслуживания).

Определим формулу для W(t). Легко видеть, что требование, поступившее на обслуживание в момент t ³ T - b (величина T определяется с использованием формулы (11.3)), найдет систему обслуживания пустой или только что освободившейся. Такому требованию не прийдется стоять в очереди. Требование, поступившее в момент времени t £ T - b, найдет впереди себя (r - t/b) + (t/a - 1) требований, стоящих в очереди, причем первое из них в этот же момент поступит на обслуживающее устройство. Эта величина получается следующим образом:

 

(начальная                        (число требований, обслуженных                                 (число

    очередь)           -                           к  моменту времени t)                      +              поступлений)

          r                   -                                     t/b                                                 +                   (t/a - 1).

 

Таким образом, время ожидания W(t) для рассматриваемого требования может быть выражено формулой:

 

                                                   W (t) = [(r - t/b) + (t/a - 1)]b = (r - 1)×b - t×(a - b)/a.                    (11.4)

 

Рассмотрим i-ое требование в начальной очереди (0 < i £ r), тогда впереди его будет (i - 1) требований, для обслуживания которых потребуется (i - 1)×b единиц времени.

Обобщая полученные результаты относительно функции W(t), получим для нее следующее выражение:

 

                                  ì                0,                                    t ³ T - b;

                    W(t) =  í (r - 1)×b - t×((a - b)/a),            0 < t £ T - b;                                                    (11.5)

                                  î          (i - 1)×b,                                 t = 0.

                                                                                                                                                                                               где i - номер i-го требования в начальной очереди; требования поступают в моменты времени a, 2a, ...; b = na (n = 1, 2, ...).

Рассмотрим числовой пример. Пусть система характеризуется следующими параметрами:

 

 a = 3,  b = 1,  r = 5. 

 

Определить время ожидания 3-го, 6-го, и 7-го требований.

Требования в систему поступают в моменты времени 3, 6, 9, .... . В момент времени t = 0 пять требований стоят в очереди. Обслуживание каждого очередного требования начинается в моменты времени 0, 1, 2, ... .

Согласно выражению (11.5) имеем:

для третьего требования t = 0 и W(t = 0) = (i - 1)×b = (3 - 1)×1 = 2;

для шестого требования  t = 3 и W(t = 3) = (r - 1)×b - t×((a - b)/a) = (5 - 1)×1 - 3×((3 - 1)/3) = 2;

для седьмого требования t = 6 и W(6) = (5 - 1)×1 - 6×((3 - 1)/3) = 0.

 

Рассмотренная детерминированная модель системы массового обслуживания является весьма простой и исследование ее дает лишь самое общее представление о подобного рода системах. В действительности большинство систем обслуживания характеризуются параметрами, имеющими вероятностный характер. Такие системы описываются случайными величинами (см. Приложение), а их модели называют стохастическими.

Существует большое количество различных методов моделирования статистических систем массового обслуживания. Рассмотрим один из них - метод имитации.

Пусть система массового обслуживания описывается следующим образом:

1) Входящий поток требований характеризуется последовательным поступлением их по одному в моменты времени 2, 4, 6, ... мин. .

2) Обслуживающий поток характеризуется временем обслуживания в виде случайной величины, представленной экспоненциальным распределением с функцией плотности вероятности f(s) = (3/4)exp(-3s/4), s > 0. Соответствующая ей функция распределения F(s) = 1 - exp(-3s/4) c графиком

 

                                                                    F(s)

                                                                         1

                      Первое выбранное                                                    Случайно выбранное

                       выбранное десятичное                                             время обслуживания

                       число                            d = 0.41                              (По методу Монте-Карло) 

                                                                                                                 F(s) = 1 - exp(-3s/4)

 

 

 

                                                                       0,0                                                       s

                                                                                  s = F-1(d)

 

3) Дисциплина очереди определяется правилом “Первым пришел - первым обслужен”, т.е. обслуживаются в порядке очереди. Считаем, что вначале в очереди нет требований.

Результаты имитации представлены с следующей таблице:

 

Номера

требований

Время

поступления, t

Время

обслуживания,

s = F-1(d)

Время выхода

требования из

системы

Время

ожидания

W

Выбранная

десятичная

дробь, d

1

2

0.7

2.7

0

0.41

2

4

0.9

4.9

0

0.49

3

6

1.9

7.9

0

0.77

4

8

0.2

8.2

0

0.13

5

10

1.9

11.9

0

0.77

6

12

4.3

16.3

0

0.99

7

14

3.0

19.3

2.3

0.91

8

16

1.4

20.7

3.3

0.65

9

18

0.23

20.93

2.7

0.17

10

20

1.2

22.13

0.93

0.59

 

В третьем столбце указывается время обслуживания, выбранное по методу Монте-Карло. В пятом столбце таблицы представлено время ожидания для первых десяти требований. Ясно, что время ожидания обслуживания требования равно 0, если оно поступило после того, как предыдущее требование покинуло систему. Другими словами, вычитая время поступления требования из времени, в которое покидает систему предшествующее требование, получаем время ожидания обслуживания требования в очереди.

В развитии математических методов, применяемых при изучении систем обслуживания, достигнуты значительные успехи. Однако в большинстве случаев приходится прибегать к методам имитации.

 

З А Д А Ч И  П О  Т Е М Е.

 

ЗАДАЧА 11.1.

Определить общее число требований, стоящих в очереди, если a = 5, b = 2, r = 20. Вычислить время, необходимое для обслуживания всех требований, стоящих в очереди.

 

 

ЗАДАЧА 11.2.

Определить общее число требований, стоящих в очереди, если a = 3, b = 1, r = 50. Вычислить время, необходимое для обслуживания всех требований, стоящих в очереди. 

ЗАДАЧА 11.3.

Определить общее число требований, стоящих в очереди, если a = 6, b = 3, r = 30. Вычислить время, необходимое для обслуживания всех требований, стоящих в очереди.

ЗАДАЧА 11.4.

Пусть система массового обслуживания характеризуется параметрами:

 

a = 3,  b = 1,  r = 8.

 

 Построить для этой системы функцию времени ожидания и с ее помощью определить время ожидания 4, 7, 9, 12  и 15-го требований.

ЗАДАЧА 11.5.

Пусть система массового обслуживания характеризуется параметрами:

 

a = 4,  b = 2,  r = 12.

 

 Построить для этой системы функцию времени ожидания и с ее помощью определить время ожидания 4, 7, 9, 12  и 15-го требований.

ЗАДАЧА 11.6.

Пусть система массового обслуживания характеризуется параметрами:

 

a = 6,  b = 3,  r = 7.

 

Построить для этой системы функцию времени ожидания и с ее помощью определить время ожидания 4, 7, 9, 12  и 15-го требований.