• Как правильно управлять финансами своего бизнеса, если вы не специалист в области финансового анализа - Финансовый анализ

    Финансовый менеджмент - финансовые отношения между суъектами, управление финасами на разных уровнях, управление портфелем ценных бумаг, приемы управления движением финансовых ресурсов - вот далеко не полный перечень предмета "Финансовый менеджмент"

    Поговорим о том, что же такое коучинг? Одни считают, что это буржуйский брэнд, другие что прорыв с современном бизнессе. Коучинг - это свод правил для удачного ведения бизнесса, а также умение правильно распоряжаться этими правилами

Г Л А В А  10 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 

 

Класс задач по управлению запасами является достаточно специфичным как по разнообразию постановки задач, так и по методам их решения. Здесь успешно применяются методы линейного и динамического программирования, методы теории массового обслуживания и многие другие. В данной главе рассматриваются простые методы математического анализа для решения задач управления запасами.    

Предприятия в процессе своей деятельности делают различные запасы. Запасы - это совокупность предметов(товаров), представляющих собой временно не используемые экономические ресурсы.

Причины создания запасов могут быть различными.

Если в нужный момент производства необходимые материалы или товары не поступают от поставщиков и их нет на складе в запасе (т.е. имеет место дефицит), процесс производства может задержаться или совсем остановиться. Однако, если запасы достаточно велики, то возрастает плата за них и за их хранение.

Таким образом, возникает задача управления запасами, т.е. выбрать некоторое компромиссное решение по созданию запасов - или выработать стратегию управления запасами.

Основные типы принимаемых решений по управлению запасами следующие:

1. Определить какое, количество товара должно быть в запасе.

2. Определить, в какое время необходимо производить пополнение запасов.

 В настоящее время существует множество подходов к решению подобного рода задач.

 Рассмотрим три простейшие математические модели, включающие:

 а) Основную модель управления запасами - определение оптимального размера партии;

 б) Модель производственных поставок;

 в) Модель, учитывающую штрафы.

Итак, предмет изучения - количество D запаса на складе и время t, для которого рассматривается этот запас, т.е. исследуется функция  D = f(t), соответствующая величине запаса в момент времени  t. График такой функции называется графиком изменения запаса.

 

                                         

        

При необходимости рассматриваются:

- непрерывное расходование запасов;

- непрерывное поступление запасов.

По поводу изменения функции запасов сделаем следующие предположения:

1. При наличии заявки на товар, он отпускается и D уменьшается. Величина спроса непрерывна во времени.

2. Если D = 0, то имеет место дефицит товара.

3. При поступлении товаров на склад (запасы пополняются) и D увеличивается. Пусть сначала, пополнение запасов будет мгновенным, затем допустим, что пополнение идет непрерывно, в течение некоторого интервала времени.

Издержки, связанные с запасами, можно представить следующим образом:

1. Организационные издержки - расходы, связанные с оформлением и доставкой товаров, необходимые для каждого цикла складирования. Это подготовительно-заключительные операции при поступлении товаров и подаче заявок.

Если запасы нужно пополнить, то на склад завозится очередная партия. Издержки на поставку - организационные издержки.

Количество товаров, поставляемое на склад, - размер партии товаров.

2. Издержки содержания запасов - затраты, связанные с хранением. Расходы этого рода возникают из-за ренты складирования и амортизации в процессе хранения(товары могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться и т.п.).

3. Издержки, связанные с дефицитом (штрафы). Если поставка со склада не может быть выполнена, то возникают дополнительные издержки, связанные с отказом. Это может быть реальный денежный штраф, уплачиваемый лицу, делающему заявку на товар, или ущерб, не осязаемый непосредственно(ухудшение бизнеса в будущем, потеря потребителей).

Математическая модель должна учитывать все эти издержки и цель моделирования заключается в том, чтобы найти такую стратегию управления запасами, при которой суммарные издержки, связанные с запасами, сводились бы к минимальным.

                

Основная задача

 

Итак, имеем следующую таблицу параметров модели и предположения (допущения) по изменению их величин.

 

Название параметра

Обозначение

Единицы измерения

Предположения

Интенсивность спроса

d

Ед-цы товара в год

Спрос постоянен и непрерывен. Весь спрос удовлетворяется.

Организационные издержки

 

s

 

$ за одну партию

Организационные издержки  постоянны, не зависят от размера  партии

Стоимость товара

c

$ за ед-цу товара

Цена ед-цы товара постоянна, имеем только один вид товара

Издержки содержания запасов

h

$ за ед-цу товара в год

Стоимость хранения ед-цы товара в течение года постоянна

 

Размер партии

 

q

 

Ед-ца товара в одной партии

Постоянная величина, поступление  мгновенное, как только уровень  запаса становится равным 0.

 

Задача управления: определить значение q, при котором минимизируются годовые затраты.

Рассмотрим график изменения запасов. В соответствии с предположениями этот график имеет вид:

 

                          

    

Чтобы полностью удовлетворить годовой спрос d в размере поставки, равном q, нужно за год сделать d/q поставок. Партия - это поставка.

Средний уровень запасов равен:

 

                                                                      Площадь графика за цикл

                                                      q/2 = 

                                                                      Продолжительность цикла

 

Составляем уравнение издержек. Издержки, связанные с запасами, сделанными в течение года ($) включают:

 

                                                               общие                                                     общие

                                             С = (организационные) + (стоимость) + (   издержки   ) =

                                                              издержки                  товара            содержания

                                                                                                                                запасов

 

                                                 =                С1                 +          С2         +             С3          =

 

                                                 =              sd/q                 +          cd          +            hq/2 .

 

За исключением q все величины известны. Поэтому, считая q переменной можно определить ее значение. Обозначим:

 

                                                                      С = sd/q + cd + hq/2 = f( q )

 

Чтобы найти минимум  С, считаем функцию f(q) дифференцируемой. Тогда значение q находится из уравнения:

                            

                                                                   dC/dq = 0  или     sd/q2 + h/2 = 0,

                                                                                                 ______

откуда                                                                        q* = 2Sd/h

 

q* - оптимальный размер партии, называемый также оптимальным заказом. Эта формула Ф.Харриса (F.Harris,1915г.).

Эта формула может быть более понятна, если графически изобразить изменение отдельных составляющих С в зависимости от изменения q:

 С1 = Sd/q  - организационные издержки;

 С2 = сd    - стоимость товара;

 С3 = hq/2  - издержки содержания запасов.

 

                                                 

 

Анализ показывает, что увеличение q ведет к резкому снижению С, при этом С3 увеличивается с постоянной скоростью h/2. При значительном увеличении q величина С -  C2+C3.

 

     Числовой  пример.

 

Пусть интенсивность равномерного спроса составляет 2000 ед. товара в год (поступление со склада непрерывное). Организационные издержки для одной партии - 20$, цена единицы товара 1$, а издержки содержания запасов 0.1$ за единицу товара в год. Каков оптимальный объем партии ?

Cчитаем, что система описывается основной моделью:

 

     d = 2000,  s = 20,  с = 1,  h = 0.1.

 

Издержки:

 

                                                                   С = С1 + С2 + С3 = 40000/q + 2000 + q/20,

 

                                                                 dC/dq = - 40000/q2 + 1/20,     40000/q2 = 1/20.

                                _____

Отсюда     q* = 80000   = 894  единиц товара в партии. Число поставок должно быть:

 

                                                                                 n* = 2000/894 = 2.24.

 

Продолжительность цикла:

 

                                                                              t* = 365/n* = 163 дня

 

Рассмотренный пример весьма упрощен. Однако, эта модель позволяет понять основные моменты управления запасами.

                                                                                                                                                    

Во-первых. Оптимальная величина уровня запасов пропорциональна       из величины спроса.

Во-вторых. Можно исследовать и чувствительность общих издержек при отклонении q от оптимального значения.

Пусть выбрано q = 1/2q*, т.е.

                                                                                   _____

                                                                   q = 1/2 2sd/h  ,              тогда

                                                                            _____              _____          ____

                                                 (С - сd ) = Sdh/2sd  + h/2 2sd/h    = 2sdh                 для       q = q*

                                                                          _____                _____                ____

                                            (С - сd ) = 2sd h/2Sd  + h/4 2sd/h  =  5/4 2sdn            для     q = 1/2q*

 

Т.е. управление запасами в размере поставки равном 1/2q* (вместо q*) ведет к тому, что общие издержки на содержание запасов и организацию поставок увеличиваются на 25% по сравнению с оптимальными.

 

Модель производственных поставок.

 

Рассмотрим теперь модель производственных поставок, когда поступление товаров на склад производится непосредственно с производственной линии, т.е. уже не будет мгновенным (т.е. партия не поставляется в течение одного дня).

Считаем, что заказы поступают непрерывно.

Допущения в таблице остаются такими же за исключением тех, которые касаются поступления продукции. Эта величина теперь будет определяться скоростью производства. Р - количество товаров, выпускаемых производственной линией за год.

За каждый цикл изменения запасов на склад поступает q единиц товара. Это количество идет с производственной линии, работающей со скоростью p. Спрос в течение года постоянен и его интенсивность d. Как только уровень запасов станет нулевым, с линии начнет поступать следующее количество товаров. Величина q - размер партии, т.е. количество товара в одной поставке. Описанная картина представлена на следующем графике:

 

                                      

 

Эффективная скорость пополнения запасов в течение времени поставки равна  p - d. 

Уравнение издержек:

 

                                                                         С = С1 + С2 + С3.

 

Для С1 имеем следующее. Спрос равен d товаров в год. Следовательно, если одна поставка содержит  q  -  товаров, то за год нужно сделать n = d/q поставок, а именно:

 

                                                                                            С1 = sd/q.

 

Для С2  имеем:

 

                                                                                            С2 = сd.

 

Для С3 (затраты на хранение запасов) имеем:

 

                                                              С3 = (средний уровень запасов) h.

 

Средний уровень запасов находится следующим образом:

1. Максимальный уровень RT = (p - d)t, где t продолжительность поставки.

2. pt = q (количество товаров в одной поставке).

Отсюда:

 

           (средний уровень запасов) = 1/2 (максимальный уровень запасов) = (p - d)q/2p

 

Следовательно:

 

                                                                       С = sd/q + cd + (p - d)qh/2p.

 

Оптимальный размер партии находится из уравнения:

 

                                                                   dC/dq = - sd/q2 + (p - d)h/2p = 0.

 

     или

                                                                                 ___________

                                                                     q* = 2Psd/(p - d)h  .

 

Числовой пример.

 

Пусть равномерный и непрерывный спрос товара со склада составляет 2000 ед-ц в год. Организационные издержки 20$ за одну партию, цена товара 1$, а издержки хранения запасов 0.1$ за единицу товара в год. Запасы на складе пополняются с производственной линии с производительностью 4000 ед. товара в год. Линия действует как только уровень запасов упадет до 0 и работает пока не будет произведено q единиц товара.

Решение.

 

      d = 2000, s = 20, h = 0.1, c =1, p = 4000.

 

     Число партий в год           n = d/q = 2000/q.

     Продолжительность поставки   t = q/p = q/4000.

     Продолжительность цикла      I = 1/n = q/d.

     Максимальный уровень запасов RT= (p - d)t =2000q/4000 =1/2q.

     Cредний уровень запасов   1/2RT= 1/4q.

 

     C = sn + cd + 1/4qh = 40000/q + 2000 + q/40.

Далее:

 

         0 = - 40000/q2 + 1/40, 

т.е.

                                                                                               _______

                                                                                    q*= 1600000  = 1265

 

(за каждую поставку нужно поставлять на склад 1265 ед. товара).

Далее:

 

                                                                       n* = 2000/1265  = 1.6  поставок,

                                                                       t* = 1265·365/4000 = 115  дней,

                                                                       I* = 1/n*·365      = 230  дней.

 

Средний уровень запасов равен:

 

                                                                           1265/4 = 316 ед. товара.

 

Модель, учитывающая штрафы.

 

Рассмотрим третью модель, которая включает штрафы.

Считаем, что существуют периоды дефицита товаров (нулевые запасы), который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную поставку.

Пусть по контракту предприятие должно поставить q единиц товара в течение каждого промежутка времени продолжительностью L, за единицу времени поставляется d единиц товара (q = Ld). Значения q и L постоянны. Пусть далее в начале каждого периода L предприятие делает запас единиц товара y < q, т.е. в течение периода наблюдаться дефицит товара и некоторое время поставок не будет. Невыполненные заявки будут накапливаться до максимальной величины q-y, но они будут удовлетворены, как только поступит следующая партия товаров в количестве q.

За несвоевременную поставку на предприятие налагается штраф, величина которого зависит от того, на сколько была задержана поставка. (Иногда выгоднее заплатить штраф, чем расходовать средства на хранение запасов, превышающих величину  у).

Задача управления в этом случае состоит в том, чтобы выбрать такое значение  у, которое ведет к минимизации всех затрат.

Рассмотрим издержки одного цикла. Общие издержки в модели пусть будут:

            h - издержки хранения единицы товара за единицу времени;

            p - затраты на штраф в расчете на ед-цу товара за один день отсрочки.

График изменения запасов будет:

 

                                                  

 

Находим издержки одного цикла:

 

                                                        С = (   общие издержки       ) + (общие затраты) =

                                                                  содержания запасов             на штраф

 

                                                            =                 С1                        +           С2

 

Для С1 имеем следующее. Товары находятся на складе в течение периода АВ, средний уровень запасов за этот период равен у/2. Продолжительность периода АВ равна у/d. Отсюда:

 

                                                                                 С1 = hy/2·y/d = hy2/2d.

 

Для С2. Штраф выплачивается за невыполнение поставок в течение периода ВС = (q - y)/d. Общее количество "товаро-дней", за которые налагается штраф, равно площади DBCD. Но

 

                                                                                 SBCD = (q - y)2/2d.    

 

Отсюда:

 

                                                                                  С2 = p(q - y)2/2d.

 

Cледовательно:

 

                                                                           С = hy2/2d + p(q - y)2/2d.

 

Оптимальное значение у находим из условия:

 

                                                                       dC/dy = hy/d - p(q - y)/d = 0,

 

     отсюда:

 

                                                                               y*   = pq/(h + p),

 

                                                                       C min  = q2hp/2d(h + p).

    

Таким образом, взяв это значение у* в качестве уровня запасов в начале каждого цикла, при условии, что невыполненные заявки в дальнейшем будут удовлетворены, сведем суммарные расходы С к минимуму.

 

З А Д А Ч И   П О  Т Е М Е

 

ЗАДАЧА 10.1.

В систему каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 15000 единиц товара. Организационные издержки на одну поставку составляют 10$. Цена на единицу товара - 3$, а издержки на ее хранение - 0.75$ в год.

Найти оптимальный размер партии.

ЗАДАЧА 10.2.

Цеху требуется 30000 гаек в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Цена гайки - 2$, а затраты на ее хранение составляют 0.2$ в год. Организационные издержки составляют 40%  для одной партии.

Найти оптимальный размер партии поставки, продолжительность цикла и число поставок в год.

 

 

ЗАДАЧА 10.3.

Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет треть скорости производства равной 30000 единиц товара в год. Организационные издержки для одной поставки составляют 200$, а издержки хранения единицы товара равны 0.5$ в год.

Найти оптимальный размер поставки.

 

ЗАДАЧА 10.4.

Фирма, как посредник, обязуется поставлять заводу по производству двигателей 5 коленчатых валов в день. С этой целью фирма решает доставлять валы на свой склад партиями по 150 шт. в расчете на 30-ти дневный срок. За один просроченный день в поставке валов заводу фирма выплачивает штраф в размере 1$. Издержки хранения одного вала составляют 1.4$ в неделю. Организационными затратами можно пренебречь.

Найти оптимальный уровень запасов и продолжительность соответствующего ему периода дефицита. Вычислить уменьшение затрат в оптимальном режиме по сравнению с бездефицитными поставками.

 

 

Класс задач по управлению запасами является достаточно специфичным как по разнообразию постановки задач, так и по методам их решения. Здесь успешно применяются методы линейного и динамического программирования, методы теории массового обслуживания и многие другие. В данной главе рассматриваются простые методы математического анализа для решения задач управления запасами.    

Предприятия в процессе своей деятельности делают различные запасы. Запасы - это совокупность предметов(товаров), представляющих собой временно не используемые экономические ресурсы.

Причины создания запасов могут быть различными.

Если в нужный момент производства необходимые материалы или товары не поступают от поставщиков и их нет на складе в запасе (т.е. имеет место дефицит), процесс производства может задержаться или совсем остановиться. Однако, если запасы достаточно велики, то возрастает плата за них и за их хранение.

Таким образом, возникает задача управления запасами, т.е. выбрать некоторое компромиссное решение по созданию запасов - или выработать стратегию управления запасами.

Основные типы принимаемых решений по управлению запасами следующие:

1. Определить какое, количество товара должно быть в запасе.

2. Определить, в какое время необходимо производить пополнение запасов.

 В настоящее время существует множество подходов к решению подобного рода задач.

 Рассмотрим три простейшие математические модели, включающие:

 а) Основную модель управления запасами - определение оптимального размера партии;

 б) Модель производственных поставок;

 в) Модель, учитывающую штрафы.

Итак, предмет изучения - количество D запаса на складе и время t, для которого рассматривается этот запас, т.е. исследуется функция  D = f(t), соответствующая величине запаса в момент времени  t. График такой функции называется графиком изменения запаса.

 

                                         

        

При необходимости рассматриваются:

- непрерывное расходование запасов;

- непрерывное поступление запасов.

По поводу изменения функции запасов сделаем следующие предположения:

1. При наличии заявки на товар, он отпускается и D уменьшается. Величина спроса непрерывна во времени.

2. Если D = 0, то имеет место дефицит товара.

3. При поступлении товаров на склад (запасы пополняются) и D увеличивается. Пусть сначала, пополнение запасов будет мгновенным, затем допустим, что пополнение идет непрерывно, в течение некоторого интервала времени.

Издержки, связанные с запасами, можно представить следующим образом:

1. Организационные издержки - расходы, связанные с оформлением и доставкой товаров, необходимые для каждого цикла складирования. Это подготовительно-заключительные операции при поступлении товаров и подаче заявок.

Если запасы нужно пополнить, то на склад завозится очередная партия. Издержки на поставку - организационные издержки.

Количество товаров, поставляемое на склад, - размер партии товаров.

2. Издержки содержания запасов - затраты, связанные с хранением. Расходы этого рода возникают из-за ренты складирования и амортизации в процессе хранения(товары могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться и т.п.).

3. Издержки, связанные с дефицитом (штрафы). Если поставка со склада не может быть выполнена, то возникают дополнительные издержки, связанные с отказом. Это может быть реальный денежный штраф, уплачиваемый лицу, делающему заявку на товар, или ущерб, не осязаемый непосредственно(ухудшение бизнеса в будущем, потеря потребителей).

Математическая модель должна учитывать все эти издержки и цель моделирования заключается в том, чтобы найти такую стратегию управления запасами, при которой суммарные издержки, связанные с запасами, сводились бы к минимальным.

                

Основная задача

 

Итак, имеем следующую таблицу параметров модели и предположения (допущения) по изменению их величин.

 

Название параметра

Обозначение

Единицы измерения

Предположения

Интенсивность спроса

d

Ед-цы товара в год

Спрос постоянен и непрерывен. Весь спрос удовлетворяется.

Организационные издержки

 

s

 

$ за одну партию

Организационные издержки  постоянны, не зависят от размера  партии

Стоимость товара

c

$ за ед-цу товара

Цена ед-цы товара постоянна, имеем только один вид товара

Издержки содержания запасов

h

$ за ед-цу товара в год

Стоимость хранения ед-цы товара в течение года постоянна

 

Размер партии

 

q

 

Ед-ца товара в одной партии

Постоянная величина, поступление  мгновенное, как только уровень  запаса становится равным 0.

 

Задача управления: определить значение q, при котором минимизируются годовые затраты.

Рассмотрим график изменения запасов. В соответствии с предположениями этот график имеет вид:

 

                          

    

Чтобы полностью удовлетворить годовой спрос d в размере поставки, равном q, нужно за год сделать d/q поставок. Партия - это поставка.

Средний уровень запасов равен:

 

                                                                      Площадь графика за цикл

                                                      q/2 = 

                                                                      Продолжительность цикла

 

Составляем уравнение издержек. Издержки, связанные с запасами, сделанными в течение года ($) включают:

 

                                                               общие                                                     общие

                                             С = (организационные) + (стоимость) + (   издержки   ) =

                                                              издержки                  товара            содержания

                                                                                                                                запасов

 

                                                 =                С1                 +          С2         +             С3          =

 

                                                 =              sd/q                 +          cd          +            hq/2 .

 

За исключением q все величины известны. Поэтому, считая q переменной можно определить ее значение. Обозначим:

 

                                                                      С = sd/q + cd + hq/2 = f( q )

 

Чтобы найти минимум  С, считаем функцию f(q) дифференцируемой. Тогда значение q находится из уравнения:

                            

                                                                   dC/dq = 0  или     sd/q2 + h/2 = 0,

                                                                                                 ______

откуда                                                                        q* = 2Sd/h

 

q* - оптимальный размер партии, называемый также оптимальным заказом. Эта формула Ф.Харриса (F.Harris,1915г.).

Эта формула может быть более понятна, если графически изобразить изменение отдельных составляющих С в зависимости от изменения q:

 С1 = Sd/q  - организационные издержки;

 С2 = сd    - стоимость товара;

 С3 = hq/2  - издержки содержания запасов.

 

                                                 

 

Анализ показывает, что увеличение q ведет к резкому снижению С, при этом С3 увеличивается с постоянной скоростью h/2. При значительном увеличении q величина С -  C2+C3.

 

     Числовой  пример.

 

Пусть интенсивность равномерного спроса составляет 2000 ед. товара в год (поступление со склада непрерывное). Организационные издержки для одной партии - 20$, цена единицы товара 1$, а издержки содержания запасов 0.1$ за единицу товара в год. Каков оптимальный объем партии ?

Cчитаем, что система описывается основной моделью:

 

     d = 2000,  s = 20,  с = 1,  h = 0.1.

 

Издержки:

 

                                                                   С = С1 + С2 + С3 = 40000/q + 2000 + q/20,

 

                                                                 dC/dq = - 40000/q2 + 1/20,     40000/q2 = 1/20.

                                _____

Отсюда     q* = 80000   = 894  единиц товара в партии. Число поставок должно быть:

 

                                                                                 n* = 2000/894 = 2.24.

 

Продолжительность цикла:

 

                                                                              t* = 365/n* = 163 дня

 

Рассмотренный пример весьма упрощен. Однако, эта модель позволяет понять основные моменты управления запасами.

                                                                                                                                                    

Во-первых. Оптимальная величина уровня запасов пропорциональна       из величины спроса.

Во-вторых. Можно исследовать и чувствительность общих издержек при отклонении q от оптимального значения.

Пусть выбрано q = 1/2q*, т.е.

                                                                                   _____

                                                                   q = 1/2 2sd/h  ,              тогда

                                                                            _____              _____          ____

                                                 (С - сd ) = Sdh/2sd  + h/2 2sd/h    = 2sdh                 для       q = q*

                                                                          _____                _____                ____

                                            (С - сd ) = 2sd h/2Sd  + h/4 2sd/h  =  5/4 2sdn            для     q = 1/2q*

 

Т.е. управление запасами в размере поставки равном 1/2q* (вместо q*) ведет к тому, что общие издержки на содержание запасов и организацию поставок увеличиваются на 25% по сравнению с оптимальными.

 

Модель производственных поставок.

 

Рассмотрим теперь модель производственных поставок, когда поступление товаров на склад производится непосредственно с производственной линии, т.е. уже не будет мгновенным (т.е. партия не поставляется в течение одного дня).

Считаем, что заказы поступают непрерывно.

Допущения в таблице остаются такими же за исключением тех, которые касаются поступления продукции. Эта величина теперь будет определяться скоростью производства. Р - количество товаров, выпускаемых производственной линией за год.

За каждый цикл изменения запасов на склад поступает q единиц товара. Это количество идет с производственной линии, работающей со скоростью p. Спрос в течение года постоянен и его интенсивность d. Как только уровень запасов станет нулевым, с линии начнет поступать следующее количество товаров. Величина q - размер партии, т.е. количество товара в одной поставке. Описанная картина представлена на следующем графике:

 

                                      

 

Эффективная скорость пополнения запасов в течение времени поставки равна  p - d. 

Уравнение издержек:

 

                                                                         С = С1 + С2 + С3.

 

Для С1 имеем следующее. Спрос равен d товаров в год. Следовательно, если одна поставка содержит  q  -  товаров, то за год нужно сделать n = d/q поставок, а именно:

 

                                                                                            С1 = sd/q.

 

Для С2  имеем:

 

                                                                                            С2 = сd.

 

Для С3 (затраты на хранение запасов) имеем:

 

                                                              С3 = (средний уровень запасов) h.

 

Средний уровень запасов находится следующим образом:

1. Максимальный уровень RT = (p - d)t, где t продолжительность поставки.

2. pt = q (количество товаров в одной поставке).

Отсюда:

 

           (средний уровень запасов) = 1/2 (максимальный уровень запасов) = (p - d)q/2p

 

Следовательно:

 

                                                                       С = sd/q + cd + (p - d)qh/2p.

 

Оптимальный размер партии находится из уравнения:

 

                                                                   dC/dq = - sd/q2 + (p - d)h/2p = 0.

 

     или

                                                                                 ___________

                                                                     q* = 2Psd/(p - d)h  .

 

Числовой пример.

 

Пусть равномерный и непрерывный спрос товара со склада составляет 2000 ед-ц в год. Организационные издержки 20$ за одну партию, цена товара 1$, а издержки хранения запасов 0.1$ за единицу товара в год. Запасы на складе пополняются с производственной линии с производительностью 4000 ед. товара в год. Линия действует как только уровень запасов упадет до 0 и работает пока не будет произведено q единиц товара.

Решение.

 

      d = 2000, s = 20, h = 0.1, c =1, p = 4000.

 

     Число партий в год           n = d/q = 2000/q.

     Продолжительность поставки   t = q/p = q/4000.

     Продолжительность цикла      I = 1/n = q/d.

     Максимальный уровень запасов RT= (p - d)t =2000q/4000 =1/2q.

     Cредний уровень запасов   1/2RT= 1/4q.

 

     C = sn + cd + 1/4qh = 40000/q + 2000 + q/40.

Далее:

 

         0 = - 40000/q2 + 1/40, 

т.е.

                                                                                               _______

                                                                                    q*= 1600000  = 1265

 

(за каждую поставку нужно поставлять на склад 1265 ед. товара).

Далее:

 

                                                                       n* = 2000/1265  = 1.6  поставок,

                                                                       t* = 1265·365/4000 = 115  дней,

                                                                       I* = 1/n*·365      = 230  дней.

 

Средний уровень запасов равен:

 

                                                                           1265/4 = 316 ед. товара.

 

Модель, учитывающая штрафы.

 

Рассмотрим третью модель, которая включает штрафы.

Считаем, что существуют периоды дефицита товаров (нулевые запасы), который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную поставку.

Пусть по контракту предприятие должно поставить q единиц товара в течение каждого промежутка времени продолжительностью L, за единицу времени поставляется d единиц товара (q = Ld). Значения q и L постоянны. Пусть далее в начале каждого периода L предприятие делает запас единиц товара y < q, т.е. в течение периода наблюдаться дефицит товара и некоторое время поставок не будет. Невыполненные заявки будут накапливаться до максимальной величины q-y, но они будут удовлетворены, как только поступит следующая партия товаров в количестве q.

За несвоевременную поставку на предприятие налагается штраф, величина которого зависит от того, на сколько была задержана поставка. (Иногда выгоднее заплатить штраф, чем расходовать средства на хранение запасов, превышающих величину  у).

Задача управления в этом случае состоит в том, чтобы выбрать такое значение  у, которое ведет к минимизации всех затрат.

Рассмотрим издержки одного цикла. Общие издержки в модели пусть будут:

            h - издержки хранения единицы товара за единицу времени;

            p - затраты на штраф в расчете на ед-цу товара за один день отсрочки.

График изменения запасов будет:

 

                                                  

 

Находим издержки одного цикла:

 

                                                        С = (   общие издержки       ) + (общие затраты) =

                                                                  содержания запасов             на штраф

 

                                                            =                 С1                        +           С2

 

Для С1 имеем следующее. Товары находятся на складе в течение периода АВ, средний уровень запасов за этот период равен у/2. Продолжительность периода АВ равна у/d. Отсюда:

 

                                                                                 С1 = hy/2·y/d = hy2/2d.

 

Для С2. Штраф выплачивается за невыполнение поставок в течение периода ВС = (q - y)/d. Общее количество "товаро-дней", за которые налагается штраф, равно площади DBCD. Но

 

                                                                                 SBCD = (q - y)2/2d.    

 

Отсюда:

 

                                                                                  С2 = p(q - y)2/2d.

 

Cледовательно:

 

                                                                           С = hy2/2d + p(q - y)2/2d.

 

Оптимальное значение у находим из условия:

 

                                                                       dC/dy = hy/d - p(q - y)/d = 0,

 

     отсюда:

 

                                                                               y*   = pq/(h + p),

 

                                                                       C min  = q2hp/2d(h + p).

    

Таким образом, взяв это значение у* в качестве уровня запасов в начале каждого цикла, при условии, что невыполненные заявки в дальнейшем будут удовлетворены, сведем суммарные расходы С к минимуму.

 

З А Д А Ч И   П О  Т Е М Е

 

ЗАДАЧА 10.1.

В систему каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 15000 единиц товара. Организационные издержки на одну поставку составляют 10$. Цена на единицу товара - 3$, а издержки на ее хранение - 0.75$ в год.

Найти оптимальный размер партии.

ЗАДАЧА 10.2.

Цеху требуется 30000 гаек в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Цена гайки - 2$, а затраты на ее хранение составляют 0.2$ в год. Организационные издержки составляют 40%  для одной партии.

Найти оптимальный размер партии поставки, продолжительность цикла и число поставок в год.

 

 

ЗАДАЧА 10.3.

Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет треть скорости производства равной 30000 единиц товара в год. Организационные издержки для одной поставки составляют 200$, а издержки хранения единицы товара равны 0.5$ в год.

Найти оптимальный размер поставки.

 

ЗАДАЧА 10.4.

Фирма, как посредник, обязуется поставлять заводу по производству двигателей 5 коленчатых валов в день. С этой целью фирма решает доставлять валы на свой склад партиями по 150 шт. в расчете на 30-ти дневный срок. За один просроченный день в поставке валов заводу фирма выплачивает штраф в размере 1$. Издержки хранения одного вала составляют 1.4$ в неделю. Организационными затратами можно пренебречь.

Найти оптимальный уровень запасов и продолжительность соответствующего ему периода дефицита. Вычислить уменьшение затрат в оптимальном режиме по сравнению с бездефицитными поставками.